Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

45
При неизвестных параметрах
()
T
M
θθθθ
...
21
=
начальные моменты
распределения являются функциями
θ
:
() ()
∫
∞
∞−
=
dyywym
k
k
θθ
.
Вместе с тем, на основе наблюдений
n
yyy
,...,,
21
могут быть найдены
выборочные начальные моменты
k
-го порядка
∑
=
∧
=
n
i
k
i
k
y
n
m
1
1
,
которые служат состоятельными оценками моментов распределения
()
θ
k
m
.
Метод моментов заключается в приравнивании
M
выборочных
моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении
оценок неизвестных параметров из системы уравнений:
()
Mkmm
k
Mk
,...,2,1,,...,,
21
==
∧
θθθ
.
Кроме начальных моментов, для оценок параметров могут использоваться
центральные моменты распределения и выборочные центральные
моменты:
∑
=
∧∧
−=
n
i
k
i
k
my
n
1
1
1
µ
.
Для некоторых распределений, например, нормального или
экспоненциального, оценки параметров, найденные с помощью метода
моментов, совпадают с соответствующими ОМП. Вместе с тем имеются
многочисленные задачи, в которых метод моментов приводит к худшим по
точности оценкам, чем метод максимального правдоподобия.
Характерным примером является оценка параметра
θ
равномерного
распределения
()
niyyw
ii
,...,2,1,0,1
=≤≤=
θθθ
. Для нахождения этой
оценки на основе метода моментов приравняем математическое ожидание
(первый начальный момент)
()
2
1
θθ
=
m
и выборочное среднее
∑
=
=
n
i
i
y
n
m
1
1
1
. В результате получаем несмещенную оценку
()
∑
=
∧
=
n
i
i
y
n
y
1
2
θ
с
дисперсией
()
nyM
3
2
2
θθθ
=
−
∧
. Заметим, что найденное значение в
()
32
+
n
раз больше дисперсии (2.27) оценки максимального
правдоподобия. Приведенный результат подчеркивает целесообразность
поиска эффективных оценок с помощью метода максимального
правдоподобия. Однако встречаются примеры, где решение уравнений
правдоподобия найти не удается, но можно получить хорошие оценки по
методу моментов. Рассмотрим два таких примера.
Пусть требуется оценить параметры
α
и
β
гамма-распределения
(табл. 1.1). Приравнивая моменты распределения
()
βαβα
⋅=
,
1
m
и

Страницы