Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

46
()( )
2
2
1,
βααβα
+=
m
к первому
∑
=
∧
=
n
i
i
y
n
m
1
1
1
и второму
∑
=
∧
=
n
i
i
y
n
m
1
2
2
1
выборочным моментам, получаем следующие оценки параметров по
методу моментов:
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
−
=
−
=
2
1
2
2
1
1
2
1
2
,
mm
m
m
mm
αβ
.
Проанализируем теперь возможности решения более сложной задачи
оценки двух параметров
α
и
β
распределения Вейбулла (табл. 1.1).
Как следует из табл.1.1, после приравнивания моментов распределения
()
βα
,
1
m
и
()
βαµ
,
2
к выборочным
1
∧
m
и
2
∧
µ
получается система двух
уравнений относительно неизвестных оценок параметров
∧
α
и
∧
β
,
аналитическое решение которой не представляется возможным.
Попытаемся подобрать функциональное преобразование выборочных
значений
i
y
, приводящее к упрощению поставленной задачи оценивания.
Заметим, что двухпараметрический класс вейбулловских СВ
Y
может
быть получен с помощью нелинейного преобразования
()
α
α
ββ
yxxy
==
,
1
СВ
X
с экспоненци альным законом распределения:
() ( )
0,exp
≥−=
xxxw
. Такое преобразование упрощается, если
рассматривать прологарифмированные данные эксперимента, т.е. ввести
СВ
() ()
βαα
ln1ln1ln
−==
xyz
и соответствующие наблюдения
niyz
ii
,...,2,1,ln
==
. Но самое главное, что моменты распределения
()
βα
,
i
zw
оказываются довольно простыми функциями неизвестных
параметров
α
и
β
. Действительно,
{} {}
β
αα
ln
1
ln
1
1
−==
XMzMm
z
;
()
{}
{}
{}()
2
2
2
2
2
12
ln
1
ln
1
XMxMmzM
zz
αα
µ
−=−=
.
Используя таблицы интегралов [25], запишем:
{} ()
CdxexdxxwxXM
x
−===
∫∫
∞
−
∞
00
lnlnln ,
{}
()
2
2
0
2
0
22
6
lnlnln
CdxexdxxwxXM
x
+===
∫∫
∞
−
∞
π
,
где 0,577...
C
=
– постоянная Эйлера [25]. С учетом приведенных
табличных интегралов получаем следующие выражения для моментов
распределения логарифмов наблюдений:
()
22
21
6,ln
απµαβ
=+−=
zz
Cm
.

Страницы