Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

51
независимых СВ, то лучшим прогнозом будет
1
1
−
∧
−
∧
=
k
k
ЭК
xx
ρ
. Дисперсия
ошибки прогноза
kkkkk
k
kk
ЭК
VPxxMxxM
ξ
ρξρ
+=
+
−=
−
−−−
−
∧
−
∧
1
2
1
2
1
1
1
2
в точности равна
эк
P
. Такой же вывод следует из формулы (2.36) для
дисперсии ошибки оценивания, если положить
∞→
k
V
. В этом случае
'
экk
PP
=
, поскольку наблюдение
kkk
nxy
+=
поражено помехой
k
n
c
{}
∞→=
2
kk
nMV
и не приводит к уменьшению дисперсии
эк
P
прогноза.
С учетом приведенных рассуждений определим начальные условия
для алгоритма (2.35), (2.36). До первого наблюдения
1
y
известно, что
1
x
подчиняется нормальному закону распределения с нулевым средним и
дисперсией
{
}
2
11
xMV
x
=
. Следовательно, лучший прогноз 0
1
=
∧
Э
x
, а
дисперсия ошибки этого прогноза
1
2
1
1
1
x
Э
Э
VxxMP
=
−=
∧
. Таким
образом, коэффициент
−=
∧
2
1
1
1
xxMP
для рекуррентной процедуры
(2.35) определяется по формуле
()
1
1
111
1
xx
VVVP
−
+=
. Начальные условия
можно получить также с помощью минимизации дисперсии
()
1
2
11
2
1
1
VBVBD
x
+−=
ε
ошибки
()
nBxBxyBxx
1111111
1
1
1
+−=−=−=
∧
ε
на
первом шаге оценивания. Минимум
ε
D
достигается при
()
1
1
1
1
111
1
xx
VVVVB
−−
+=
, т.е. при
1
111
−
=
VPB
.
Анализируя вывод алгоритма фильтрации (2.35), (2.36), необходимо
заметить, что представление (2.33) текущей оценки
k
x
∧
в виде линейной
комбинации предшествующей оценки
1
−
∧
k
x
и очередного наблюдения
k
y
резко ограничивает класс возможных процедур. В связи с этим
полученный результат (2.35) может рассматриваться как наилучшее (в
смысле минимума дисперсии ошибки) правило лишь в довольно узком
классе рекуррентных алгоритмов оценивания изменяющегося параметра.
Замечательным достижением Р.Калмана и Р.Бьюси [11,12] было
доказательство строгой оптимальности алгоритма (2.35) в классе любых
(не только рекуррентных) процедур оценивания параметра
k
x
, заданного
скалярными или векторными уравнениями авторегрессии. Поэтому
рекуррентное правило оценивания (2.35), (2.36), а также его многомерные
обобщения, часто называют фильтром Калмана.

Страницы