Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
имеющее вероятность
p
. При этом предполагается, что исход каждого
опыта не зависит от результатов других опытов. Тогда вероятность
()
kP
n
того, что в этой последовательности
n
опытов событие
A
появится ровно
k
раз (безразлично в каком порядке) находится по формуле Бернулли:
()
nkqpCkP
knkk
nn
,...,1,0,
==
−
, (1.7)
где
()
!!!,1
knknCpq
k
n
−=−=
. Правая часть формулы имеет вид общего
члена разложения бинома Ньютона:
()
∑
−
=+
knkk
n
n
qpCqp
. Поэтому
совокупность чисел
()
01
n
P k , k , ,...n
=
, называют биноминальным
распределением вероятностей.
Так как числа
()
01
n
P k , k , ,...,n,
=
являются вероятностями попарно
несовместных событий, то вероятность
()
21
mkmP
n
≤≤
того, что число
появления события
A
в
n
опытах будет заключено в пределах от
1
m
до
2
m
, определяется с помощью суммирования:
()()
∑∑
==
−
==≤≤
2
1
2
1
21
m
mk
m
mk
knkk
nnn
qpCkPmkmP
. (1.8)
На практике часто встречаются задачи, когда число испытаний
n
велико и вычисления по формуле Бернулли затруднены. Для этих случаев
применяются приближенные методы расчета. При малых 0
→
p
и ограниченных значениях
np
=
λ
используется формула Пуассона:
()
()
()
λλ
−≅=
−
exp!
kqpCkP
kknkk
nn
. (1.9)
По этой формуле для любых 1
n
>>
легко выполняются расчеты
с помощью таблиц распределения Пуассона [2, 29] или на ЭВМ.
Если
p
фиксировано, а
n
и
k
стремятся к бесконечности
при ограниченном отношении
()
npqnpk
−
, то может быть использована
асимптотическая формула Лапласа:
()
()
−
−≅
npq
npk
npq
kP
n
2
exp
2
1
2
π
.(1.10)
Когда
p
не слишком близко к нулю или единице, формула (1.10) может
быть достаточно точна уже при
n
порядка нескольких десятков. Сумма
вероятностей (1.8) при этом хорошо аппроксимируется следующим
выражением:
()
−
Φ−
−
Φ≅≤≤
npq
npm
npq
npm
mkmP
n
1
0
2
021
,(1.11)
где
()
∫
−
=Φ
x
t
dtex
0
5,0
0
2
2
1
π
– функция Лапласа [1-4].
Следует подчеркнуть, что применение приближенных асимптотических
соотношений всегда должно сопровождаться контролем величины
погрешности. Для этого могут использоваться точные формулы,
специальные аналитические методы [2-4] или результаты экспериментов.

Страницы