Методы обработки сигналов. Васильев К.К. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7
1.2. Случайные величины
Будем рассматривать множество всех случайных исходов, возможных
при данном испытании. Предположим, что каждому исходу
ω
этого
испытания соответствует число
X
. Тогда множество исходов
отображается в некоторое числовое множество. Такое отображение, т.е.
числовая функция
()
ω
X
, построенная на множестве исходов
эксперимента, называется случайной величиной (СВ). Примерами СВ
могут быть число единиц в последовательности
n
двоичных символов,
значение напряжения на выходе приемника в фиксированный момент
времени и т.д.
Если число
n
возможных исходов
n
xxx
,...,,
21
конечно или cчетно, то
CB
X
называется дискретной. Дискретная СВ может быть описана
с помощью задания всех вероятностей
nip
i
,...,2,1,
=
, с которыми СВ
принимает значения
n
xxx
,...,,
21
, т.е.
()
nixXPp
ii
,...,2,1,
===
. Сумма
этих вероятностей равна единице. Вместо набора
{}
n
i
i
p
1
=
вероятностей
свойства СВ могут быть заданы с помощью функции распределения
() ( )
xXPxF
<=
.(1.12)
Как следует из определения,
() () ( ) () ()
01
F,F,PaxbFbFa
−∞ = ∞ = ≤ < = −
.
Кроме того,
()
xF
является неубывающей функцией. Для дискретных СВ
эта функция имеет ступенчатый вид, причем каждая «ступенька»
величиной
i
p
расположена в точке с абсциссой
i
x
.
Другим важным классом является СВ, для которых функция
распределения
()
xF
непрерывна. Если
()
xF
дифференцируема, то ее
производная
() ()
dxxdFxw
=
(1.13)
называется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) непрерывной
случайной величины. Поскольку
()()
()
()
00
D® D®
=+D-D=£<+DD
xx
dF dx lim F x x F x / x lim P x X x x / x
, то ПРВ
можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания
случайной величины на отрезок
()
xxx
∆+
; к длине
x
∆
этого отрезка
при 0
→∆
x
. Очевидно,
()()
∫
=≤≤
b
a
dxxwbXaP
, т.е. вероятность попадания
СВ на отрезок
[]
ba
,
численно равно площади под графиком ПРВ. В
отличие от дискретных непрерывные СB принимают несчетное множество
значений. Вероятность того, что непрерывная СВ примет любое
конкретное значение, например
a
, равна нулю.
Важнейшими числовыми характеристиками СВ являются
математическое ожидание

Страницы