ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
184
5.3.2. Группы
Определение группы
Группой G называется множество элементов, для которых определена
некоторая операция
∗
и выполняются следующие аксиомы:
G.1. Операция может быть применена к любым двум элементам группы,
в результате чего получается третий элемент группы, т.е., если
Ga ∈
и
Gb
∈
,
то Gba ∈∗ .
G.2. Для любых трех элементов a , b и c из G
(
)( )
cbacba ∗∗=
∗
∗
.
G.3. В G существует единичный элемент l , т.е. такой, что aalla
=
∗
=∗
для любого Ga ∈ .
G.4. Для любого элемента Ga
∈
существует обратный элемент
1−
a
такой,
что laaaa =∗=∗
−− 11
.
Аксиома G.1 определяет замкнутость операции в группе. Обычно опера-
ции над элементами записывают в виде cba
=
+
и называют сложением или в
виде
cba =⋅
и называют умножением, даже если они не являются обычными
сложением и умножением. В соответствии с двумя записями операций разли-
чают аддитивную и мультипликативную группы.
Свойство операции, сформулированное в виде аксиомы G.2, называют ас-
социативностью. Она означает, что порядок выполнения операций несуществе-
нен, и поэтому скобки не нужны.
Аксиома G.3 постулирует обязательное существование единичного эле-
мента. Для аддитивной группы единичный элемент называют нулем, обознача-
ют 0 и определяют из уравнения
aaa
=
+
=
+
00
. Для мультипликативной груп-
пы единичный элемент называют единицей и определяют из уравнения
aaa =⋅=⋅ 11 .
Аксиома G.4 требует для каждого элемента группы существования обрат-
ного элемента. Если групповая операция – сложение, то элемент, обратный
a
,
обозначается
()
a− и находится из уравнения
(
)
(
)
0=
+
−
=
−
+
aaaa . Для мультип-
ликативной группы обратный к a элемент обозначается
1−
a и находится из
уравнения 1
11
=⋅=⋅
−−
aaaa .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- …
- следующая ›
- последняя »
