Теория электрической связи. Васильев К.К - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

188
Если в группе G существует элемент a такой, что его порядок совпадает
с порядком группы
{
}
nm = , т.е.
(
)
132
,...,, , ,
−
=
m
aaaalG , то сама группа называется
циклической. При этом элемент a называется порождающим элементом груп-
пы.
Теорема 5.2. Если a – порождающий элемент циклической группы по-
рядка n , то
k
a – порождающий элемент этой же группы, где k – число взаим-
но простое с n .
В примере 1.7 рассмотрена аддитивная циклическая группа 6-го порядка.
Порождающими элементами этой группы являются 1 или 5. Циклическая груп-
па с порождающим элементом a приведена в примере 1.3.
5.3.3. Кольца и поля
Определение кольца
Кольцом
R
называется множество элементов, на котором определены две
операции – сложение и умножение, и в
R
выполняются следующие аксиомы:
R.1. Множество
R
является аддитивной абелевой группой.
R.2. Для любых двух элементов
a
и
b
из
R
определено их произведе-
ние: Rcba ∈=⋅ (замкнутость операции умножения).
R.3. Для любых трех элементов
a
,
b
и
c
из
R
выполняется ассоциатив-
ный закон, т.е.
()()
cabbca
=
и
(
)
(
)
cbacba
+
+
=
+
+ .
R.4. Для любых трех элементов a , b и c из
R
выполняется дистрибу-
тивный закон, т.е. справедливы равенства:
(
)
acabcba
+
=
+
и
(
)
cabaacb +=+ .
Заметим, что в кольце для операции умножения аксиомы G.3, G.4 и G.5
могут не выполняться. Если же операция умножения коммутативна в кольце, то
такое кольцо называется коммутативным. Если в кольце существует единичный
элемент относительно операции умножения (выполняется аксиома G.3), то это
кольцо называется кольцом с единицей.
Пример 5.8. Все целые положительные и отрицательные числа и нуль об-
разуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций
сложения и умножения.

Страницы