Теория электрической связи. Васильев К.К - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

190
совпадают, а так как 11
1
=
−
, также совпадают операции умножения и деления.
Это поле находит широкое применение в теории и технике помехоустойчивого
кодирования. Более сложные конечные поля рассмотрены в 5.3.5.
Кольцо полиномов
Рассмотрим полином (многочлен)
(
)
m
m
xfxffxf +++= ...
10
. Если коэффи-
циенты
i
f , mi ,...,1,0= , при степенях
x
являются элементами поля F , то гово-
рят, что полином
()
xf задан над полем F .
Степенью полинома называется наибольшая степень переменной
x
с не-
нулевым коэффициентом. Многочлен называется нормированным, если коэф-
фициент при наивысшей степени
x
равен 1. Два полинома
()
∑
=
=
m
i
i
i
xfxf
0
и
()
∑
=
=
n
i
i
i
xgxg
0
(5.8)
называются равными, если они имеют одинаковую степень, т.е.
nm =
, и равные
коэффициенты
ii
gf = , mi ,...,1,0= . При этом считается, что lx =
0
, где l – еди-
ничный элемент поля
F
. Полином, все коэффициенты которого равны нулю,
называется нулевым. Степень нулевого полинома равна нулю.
В кольце полиномов операции сложения и умножения вводятся следую-
щим образом. Для двух полиномов (5.8) их сумма
()
(
)
(
)
()
∑
+=+
i
i
ii
xgfxgxf
а произведение
()()
()
∑∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
i
i
i
j
jii
xgfxgxf
0
В частности, если
()
α
=xg
, F
∈
α
, то
(
)
(
)
()
∑
=
i
i
i
xfxfxg
α
. Нетрудно прове-
рить, что при введенных таким образом операциях сложения и умноже-
ния множество
[]
xR полиномов является кольцом, которое называется кольцом
полиномов над полем
F
.
Свойства делимости полиномов в кольце
Пусть
()
xf и
()
xg – два полинома степени m и n соответственно, при-
чем nm > . Говорят, что
()
xf делится на
(
)
xg , если в кольце
()
xR существует тре-

Страницы