Теория электрической связи. Васильев К.К - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

189
Пример 5.9. Легко убедиться, что полная система вычетов по модулю
p
также образует коммутативное кольцо с единицей относительно операций сло-
жения и умножения по модулю
p
.
Определение поля
Полем
F
называют коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый
ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный
по умножению).
Другими словами, полем называют множество, которое является адди-
тивной абелевой группой; ненулевые же элементы этого множества образуют
мультипликативную абелевую группу, и выполняется закон дистрибутивности.
По аналогии с группами число элементов поля называется порядком поля.
Поля, порядки которых конечны, называются конечными полями. Конечные
поля имеют наибольшее значение в теории кодирования.
Отметим некоторые свойства полей, вытекающие из их определения.
1. Для любого элемента поля 000
=
⋅
=
⋅
aa .
2. Для ненулевых элементов a и b поля 0
≠
⋅
ba .
3. Для любых элементов a и b поля 0
≠
+
ba .
4. Если caba
⋅
=⋅ и 0≠a , то cb
=
.
Пример 5.10 Множество всех действительных чисел образует поле. Су-
ществует также поле комплексных чисел, поле рациональных чисел, но не мо-
жет быть поля целых чисел, поскольку обратные элементы по умножению, кро-
ме единицы, не являлись бы целыми.
Пример 5.11. Множество чисел
(
)
1,...,2 ,1 ,0
−
p , где
p
– простое число, об-
разует конечное поле, в котором сложение и умножение производятся по моду-
лю
p
.
Пример 5.12. При
2=p
имеем простейшее двоичное поле, состоящее из
двух элементов 0 и 1. Эти элементы являются соответственно единичными эле-
ментами относительно операций сложения и умножения по модулю 2, которые
определяются правилами: 01100
=
+
=
+ ; 11001
=
+
=
+
; 000 =⋅ ; 00110
=
⋅
=⋅ ;
111 =⋅ . Так как
()
11
=
−
, то операции сложения и вычитания в двоичном поле

Страницы