Теория электрической связи. Васильев К.К - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

196
ab .
GF.2. Для любого элемента
a
существует обратный элемент по сложе-
нию
()
a− и обратный элемент по умножению
1
a
−
(если 0a ≠ ) такие, что
()
0=−+ aa и
1
1
=⋅
−
aa
. Наличие обратных элементов позволяет наряду с опера-
циями сложения и умножения выполнять также вычитание и деление:
()
baba −+=− ,
1−
⋅= ba
b
a
. Поэтому иногда просто говорят, что в поле определены
все четыре арифметические операции (кроме деления на 0).
GF.3. Поле всегда содержит мультипликативную единицу 1 и аддитивную
единицу 0, такие что
aa =+ 0
, и
aa
=
⋅
1
для любого элемента поля.
GF.4. Для введенных операций выполняются обычные правила ассоциа-
тивности
()
(
)
cbacba ++=++ ,
()
(
)
cabbca
=
, коммутативности abba +=+ , baab
=
и
дистрибутивности
(
)
acabcba +=+ .
GF.5. Результатом сложения или умножения двух элементов поля является
третий элемент из того же конечного множества.
Аксиомы GF.1 – GF.5 являются общими для полей как с конечным, так
и с бесконечным числом элементов. Специфику же конечного поля определяет
аксиома GF.5, где ключевыми являются слова «из того же конечного множест-
ва».
Требование конечности множества определяет ряд ограничений как на ко-
личество элементов поля GF , так и на понятия «сложение» и «умножение».
Конечные поля существуют не при любом числе элементов, а только в
том случае, если их количество – простое число
p
или его степень
m
p , где m –
целое. В первом случае поле
(
)
pGF называется простым, а во втором – расши-
рением
(
)
m
pGF простого поля.
Очевидно, операции комбинирования элементов конечного поля не могут
быть обычными сложением и умножением. Выполнение аксиомы GF.5 для про-
стого конечного поля обеспечивается совершением арифметических операций
по модулю числа
p
, которое носит название характеристики конечного поля.
Можно убедиться, что в кольце вычетов по модулю
p
(см. 5.3.1) каждый нену-

Страницы