Теория электрической связи. Васильев К.К - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

198
между собой в соотношении 1 , ,..., , ,1
12
=
−
mm
pp
αααα
. Примитивных элементов в
(
)
m
pGF может быть несколько.
Построение конечного поля
Построим конечное поле
(
)
2GF и его расширение
(
)
4
2GF . Пусть элемен-
тами
()
2GF
являются 0 и 1, а элементами
(
)
4
2GF – 16 всевозможных полиномов
степени 3 и менее с коэффициентами из
(
)
2GF
:
1,...,1,,1,,1,,1,0
232222
++++++++ xxxxxxxxxxx .
Теперь необходимо определить операции над элементами таким образом,
чтобы их результаты не давали новых элементов, кроме уже введенных.
В поле
()
2GF обычные операции умножения (на 0 и 1) и деления (на 1)
не выводят результат за пределы множества 0; 1. Однако при сложении и вычи-
тании элементов это требование может уже не выполняться: 211
=
+
;
()
211 −=−+− и т. д. Свойства конечного поля будут, очевидно, соблюдаться, если
в качестве операции сложения использовать суммирование по модулю 2
(
)
2mod :
000 =+
;
110
=
+
;
101
=
+
;
011
=
+
. (5.9)
причем операции сложения и вычитания в поле
(
)
2GF совпадают. Этим мы бу-
дем пользоваться в дальнейшем, заменяя, например, полином вида 1−
n
x на
1−
n
x
в тех случаях, когда полиномы заданы над полем характеристики 2. Ес-
ли, однако, характеристика поля 2
≠
p , такая замена неправомерна, и полино-
мы каждого вида нужно рассматривать самостоятельно.
В поле
(
)
4
2GF операцией, которая может вывести результат за пределы
поля, является умножение многочленов. Обычное перемножение может дать по-
лином степени больше 3, не принадлежащий множеству элементов
(
)
4
2GF . Дей-
ствительно, используя представление полиномов через векторы их коэффици-
ентов [26], а также учитывая (5.9), получим
()()
(
)
(
)
()
.11001011111
11110011101
2562356
23356323
↔+++=+++++
=+++++=+++↔
xxxxxxx
xxxxxxxx
Поэтому введем дополнительное условие, чтобы
x
удовлетворял некото-
рому уравнению степени 4=m , например,
(
)
01
4
=++= xxxp или 1
4
+= xx . Тогда

Страницы