Теория электрической связи. Васильев К.К - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

197
левой элемент имеет обратный элемент тогда и только тогда, когда
p
– простое
число [25, 26, 33]. Следовательно, кольцо вычетов по модулю простого числа
p
является простым полем
()
pGF
. Элементами этого поля являются целые числа
1,...,2 ,1 ,0 −p . Операции сложения и умножения в таком поле производятся по
модулю
p
. Пример простейшего двоичного поля
(
)
2GF
приведен в 5.3.3.
Элементами
β
расширенного поля
(
)
m
pGF могут быть, например, все
многочлены степени
1−m
или меньше, коэффициенты которых лежат в про-
стом поле
()
pGF . Число
m
p называется порядком расширенного поля и опреде-
ляет количество различных многочленов.
Правила сложения и умножения полиномов – элементов расширенного
конечного поля получаются из обычных правил сложения и умножения поли-
номов с последующим приведением результата по модулю некоторого специ-
ального многочлена
()
xp степени m . Такое приведение эквивалентно делению
многочлена результата на
()
xp и использованию только остатка.
Очевидно, любые результаты вычислений в поле после приведения по
модулю
()
xp должны оставаться обратимыми – только в этом случае наша сис-
тема образует поле. Для этого используемый полином
(
)
xp должен быть непри-
водимым в поле
()
pGF , т.е. его нельзя разложить на множители, используя
только многочлены с коэффициентами из
(
)
pGF . Это означает также, что
(
)
xp
не имеет корней в поле
()
pGF . Аналогом неприводимого полинома является
простое число в поле вещественных чисел.
К сожалению, регулярных методов поиска неприводимых полиномов не
существует, они обычно определяются перебором. К настоящему времени име-
ются подробные таблицы неприводимых полиномов [30, 33].
Особым свойством конечных полей является связь между собой всех не-
нулевых элементов
β
и возможность выражения каждого из них через один эле-
мент
α
, называемый примитивным, как некоторую целую степень этого эле-
мента. Множество 1−
m
p ненулевых элементов расширения
()
pGF образует
циклическую мультипликативную группу (см. 5.3.2), т.е. элементы находятся

Страницы