Теория электрической связи. Васильев К.К - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

61
Ее обозначают
()
tS
~
и называют сигналом, сопряженным по Гильберту с
()
tS [6, 20]:
() () ( )
[
]
()
.0,sincos
ImIm
~
1
00
1
0
Tttkatkb
ejbatStS
k
kk
k
tjk
kk
<<+−=
=−==
∑
∑
∞
=
∞
=
ωω
ω
(1.56)
Отсюда видно, что сопряженный сигнал можно получить из исходного,
повернув начальные фазы всех его составляющих на
2
π
− или, другими слова-
ми, заменив в ряде Фурье (1.71)
cos на sin , а sin на cos
−
.
В соответствии с (1.54), (1.55) и (1.56) аналитический сигнал может быть
выражен через реальный и сопряженный сигналы следующим образом:
()
(
)
(
)
tSjtStS
~
+=
.
(1.57)
Исходя из этого, аналитический сигнал в мо-
мент времени
t может быть представлен точкой на
комплексной плоскости, если по оси абсцисс от-
кладывать значения реального сигнала
(
)
tS
, а по
оси ординат - сопряженного с ним сигнала
(
)
tS
~
(рис. 1.26).
В качестве примера рассмотрим гармоническое
колебание:
()
T
tAtS
π
ωω
2
,cos
00
=⋅= .
(1.58)
Такой сигнал представляется только одним членом ряда Фурье, так как
∫
====
=
T
T
T
t
A
tdtA
T
a
S
0
2
0
0
0
0
0
0
0sincos
1
2
0
ω
π
ω
ω
ω
,
(1.59)
⎩
⎨
⎧
>
==
=
0,0
1,
1
k
kAa
a
k
,
(1.60)
0=
k
b , при любых k .
(1.61)
Справедливость (1.60) и (1.61) вытекает из ортогональности функций
tk
0
cos
ω
и tk
0
sin
ω
.
В соответствии с (1.56), (1.60), (1.61) сопряженный сигнал:
()
tAtS
0
sin
~
ω
= .
(1.62)
Тогда аналитический сигнал
(
)
tS
, соответствующий реальному сигналу
(9), можно записать следующим образом:
()
tjAtAtS
00
sincos
ωω
+=
.
(1.63)
Im
Re
(
)
tS
(
)
tS
~
(
)
tS
(
)
tA
()
tϕ

Страницы