Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ïåðåéäåì îò ôóíêöèé Áëîõà ê ôóíêöèÿì Âàíüå [70], ñâÿçàí
-
íûì ñ ïåðâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå:
Y
a
a
y() ()rn r
kn
k
k
-=
--
å
Ne
i12
.
Çäåñü
N
— ÷èñëî àòîìîâ â îñíîâíîé îáëàñòè êðèñòàëëà, íà êî
-
òîðóþ íàêëàäûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ Áîðíà-Êàðìà
-
íà. Ôóíêöèè Âàíüå
Y
a
()rn-
èìåþò ìàêñèìóì â ÿ÷åéêå ñ äèñ
-
êðåòíûì ðàäèóñ-âåêòîðîì
n
(4.3).  ñëó÷àå ïðèìåíèìîñòè
ïðèáëèæåíèÿ ñèëüíî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ â íóëåâîì ïðèá
-
ëèæåíèè ôóíêöèè Âàíüå ïðîñòî ñîâïàäàþò ñ âîëíâîé ôóíê
-
öèåé ýëåêòðîíà äëÿ àòîìà, íàõîäÿùåãîñÿ â ÿ÷åéêå
n
. Òàêîå
ñîñòîÿíèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì
ñ ðàçëè÷íûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè è íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåí
-
íûì ñîñòîÿíèåì ãàìèëüòîíèàíà äàæå ïðè ïðåíåáðåæåíèè ìå
-
æýëåêòðîííûì âçàèìîäåéñòâèåì, íî çäåñü åãî óäîáíî èñïîëü-
çîâàòü, ïîñêîëüêó äëÿ íåãî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì
îêîëî
n
-íîé ÿ÷åéêè. Îïåðàòîð ðîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â ýòîì
ñîñòîÿíèè ðàâåí
aN ea
i
a
a
n
kn
k
k
+- -+
=
å
12
.
Âìåñòî ñîñòîÿíèé
kK
äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîñòîÿíèÿ
lK
, ïîñòðîåííûå íà
ôóíêöèÿõ Âàíüå, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò òîìó æå ñàìîìó ïîë-
íîìó ìîìåíòó
hK
è îïèñûâàþò ýëåêòðîí è äûðêó, íàõîäÿùèå-
ñÿ íà ðàññòîÿíèè
l
äðóã îò äðóãà:
lK
Km
ml
m
m
=
-
+
+
å
Neaag
i
c
v
12
,
.
Òîãäà ñîñòîÿíèå
lK
ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè
E
lK
ìîæåò áûòü çàïèñàíî ÷åðåç ñóììó òàêèõ ôóíêöèé:
l
l
KllK
K
l
=
å
F ()
,
ãäå ôóíêöèÿ
F
lK
l()
ñâÿçàíà ñ ââåäåííûìè âûøå êîýôôèöèåí
-
òàìè
f
lK
k()
ñ ïîìîùüþ Ôóðüå-ïåîáðàçîâàíèÿ:
FNef
i
llK
kl
K
k
lk() ( )=
-
å
12
.
Ïî ïîñòðîåíèþ ôóíêöèÿ
f
lK
k()
ñâÿçàíà ñ âåðîÿòíîñòüþ íàéòè
102
Ïåðåéäåì îò ôóíêöèé Áëîõà ê ôóíêöèÿì Âàíüå [70], ñâÿçàí-
íûì ñ ïåðâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå:
   Ya (r - n) = N - 1 2 å e -ikn y ak (r) .
                            k

Çäåñü N — ÷èñëî àòîìîâ â îñíîâíîé îáëàñòè êðèñòàëëà, íà êî-
òîðóþ íàêëàäûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ Áîðíà-Êàðìà-
íà. Ôóíêöèè Âàíüå Ya (r - n) èìåþò ìàêñèìóì â ÿ÷åéêå ñ äèñ-
êðåòíûì ðàäèóñ-âåêòîðîì n (4.3).  ñëó÷àå ïðèìåíèìîñòè
ïðèáëèæåíèÿ ñèëüíî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ â íóëåâîì ïðèá-
ëèæåíèè ôóíêöèè Âàíüå ïðîñòî ñîâïàäàþò ñ âîëíâîé ôóíê-
öèåé ýëåêòðîíà äëÿ àòîìà, íàõîäÿùåãîñÿ â ÿ÷åéêå n. Òàêîå
ñîñòîÿíèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì
ñ ðàçëè÷íûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè è íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåí-
íûì ñîñòîÿíèåì ãàìèëüòîíèàíà äàæå ïðè ïðåíåáðåæåíèè ìå-
æýëåêòðîííûì âçàèìîäåéñòâèåì, íî çäåñü åãî óäîáíî èñïîëü-
çîâàòü, ïîñêîëüêó äëÿ íåãî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì
îêîëî n-íîé ÿ÷åéêè. Îïåðàòîð ðîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â ýòîì
ñîñòîÿíèè ðàâåí
    a a+n = N - 1 2 å e -ikn a a+k .
                    k

Âìåñòî ñîñòîÿíèé kK äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîñòîÿíèÿ lK , ïîñòðîåííûå íà
ôóíêöèÿõ Âàíüå, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò òîìó æå ñàìîìó ïîë-
íîìó ìîìåíòó hK è îïèñûâàþò ýëåêòðîí è äûðêó, íàõîäÿùèå-
ñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà:
    lK = N - 1 2 å e iKm a c+, m + l avm g .
                    m

Òîãäà ñîñòîÿíèå lK ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè E lK
ìîæåò áûòü çàïèñàíî ÷åðåç ñóììó òàêèõ ôóíêöèé:
    lK = å FlK (l) lK ,
              l
ãäå ôóíêöèÿ FlK (l) ñâÿçàíà ñ ââåäåííûìè âûøå êîýôôèöèåí-
òàìè flK (k) ñ ïîìîùüþ Ôóðüå-ïåîáðàçîâàíèÿ:
    FlK (l) = N - 1 2 å e ikl flK (k) .
                        k

Ïî ïîñòðîåíèþ ôóíêöèÿ flK (k) ñâÿçàíà ñ âåðîÿòíîñòüþ íàéòè

                                       102

Страницы