Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 165 стр.

                                                            Zi Z j e 2
âçàèìîäåéñòâèÿ èîííûõ îñòîâîâ (÷ëåí                  åR          -R j
                                                                         ), òàê è
                                                     i¹ j    i
ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó îñòîâîì è ýëåêòðîííûìè îáî-
ëî÷êàìè.
     Êàê âûøå óæå óêàçûâàëîñü, R ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâî-
êóïíîñòü êîîðäèíàò âñåõ àòîìîâ. Åñëè â îñíîâíîé îáëàñòè
êðèñòàëëà íàõîäèòñÿ N ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê, à êàæäàÿ ÿ÷åéêà
ñîñòîèò èç s àòîìîâ, òî R èìååò 3Ns êîìïîíåíò. Ââåäåì Ns
òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ îòêëîíåíèé u an (a – íîìåð àòîìà â ýëå-
ìåíòàðíîé ÿ÷åéêå, ñîîòâåòñâóþùåé ðàäèóñ-âåêòîðó n). Òîãäà
E e (R) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî îòêëîíåíèÿì:
    E e (R) = E e (R) + å B na u na +       å     Aina; jn¢a ¢ uina u jn¢a ¢ + K
                            na          nan¢a ¢
Âûñøèå ÷ëåíû, îòâåòñòâåííûå çà àíãàðìîíè÷íîñòü êîëåáàíèé
ðåøåòêè, ìîæíî îïóñòèòü âñëåäñòâèå èõ ìàëîñòè â áîëüøèíñ-
òâå èíòåðåñíûõ äëÿ ñïåêòðîñêîïèè ñëó÷àåâ.  èäåàëüíîì
êðèñòàëëå ìàòðèöà Aina; jn¢a ¢ ìîæåò çàâèñåòü ëèøü îò n - n¢.
Âñëåäñòâèå ýòîãî óäîáíî ïåðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì ñìå-
ùåíèé:
    r
    x a (k) = N - 1 2 å e -ikn u na ,
                        n

ãäå k ïðèíèìàåò N äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé èç ïåðâîé çîíû
Áðèëëþýíà. Ïåðåõîäÿ è â âîëíîâîé ôóíêöèè ê íîâûì êîîð-
äèíàòàì, ìîæíî ïîëó÷èòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, äåéñòâóþ-
ùèé íà c, â âèäå ìàòðèöû 3s ´ 3s, êîìïîíåíòû êîòîðîé çàâè-
ñÿò îò âîëíîâîãî âåêòîðà k. Äèàãîíàëèçàöèÿ ýòîé ìàòðèöû
ïðèâåäåò ê 3s óðàâíåíèÿì äëÿ êàæäîãî k, îïðåäåëÿþùèõ íîð-
ìàëüíûå êîëåáàíèÿ, íàçûâàåìûå ìîäàìè, ñ ñîáñòâåííûìè
çíà÷åíèÿìè W 2s (k). Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ
êâàíòîâûì óðàâíåíèåì äëÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé W s (k), ãäå
s — íîìåð âåòâè êîëåáàíèé. Âåêòîð Ôóðüå-êîìïîíåíò ñìåùå-
íèé e sa , ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ W s (k), îï-
ðåäåëÿåò ñìåùåíèå a-àòîìà ðåøåòêè ïðè êîëåáàíèÿõ ìîäû s.
Ñìåùåíèå êàêîãî-ëèáî àòîìà áóäåò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç íîð-
ìàëüíûå êîîðäèíàòû Qks ýòîãî îñöèëëÿòîðà ñ ïîìîùüþ ïðå-
îáðàçîâàíèÿ
    u na = N - 1 2 å e sa (k) Qks e ikn .                                  (12.5)
                   ks
                                  164