Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 70 стр.

ýëåêòðîíà) âûðîæäåííîå ñîñòîÿíèå G25 ðàñïàäàåòñÿ íà äâóõê-
ðàòíî âûðîæäåííîå G7 è ÷åòûðåõêðàòíî âûðîæäåííîå
G8 -ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëå-
íèÿì òàê íàçûâàåìûõ äâîéíûõ ãðóïï (ó÷èòûâàþùèõ íàëè÷èå
ñïèíîâîé ïåðåìåííîé). Èíäåêñû â ýòîì ñëó÷àå óæå íå èìåþò
íàãëÿäíîé èíòåðïðåòàöèè.

4.3       Ïðèáëèæåíèå ïî÷òè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ
     Ïðåæäå ÷åì ðàññìàòðèâàòü îáùèé ñëó÷àé, ïîñìîòðèì, ê
÷åìó ïðèâîäèò ïåðèîäè÷íîñòü ðåøåòêè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå â
äâóõ ïðåäåëàõ. Âî-ïåðâûõ, ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìóþ ìî-
äåëü ïî÷òè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ñâî-
áîäíûõ ýëåêòðîíîâ èìååò âèä E(k) = h2 k 2 2m e , ïðè÷åì k â
ýòîé îáëàñòè èçìåíÿåòñÿ â áåñêîíå÷íûõ ïðåäåëàõ. Âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ èìååò âèä V -1 2 e ikx . Òåïåðü ââåäåì ñëàáûé ïåðèîäè-
÷åñêèé ïîòåíöèàëU(x) = U(x + a) è ïîïûòàåìñÿ ïðèâåñòè áåñ-
êîíå÷íóþ îáëàñòü èçìåíåíèÿ k ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà
(- p a , p a). Åñëè k < p a, òî âîëíîâîé âåêòîð ïîïàäàåò â ïåð-
âóþ çîíó Áðèëëþýíà, è â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ èìååò âèä ôóíêöèè Áëîõà ñ u k,0 (x) = 1. Åñëè âîëíî-
âîé âåêòîð ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ âòî-
ðîé çîíû Áðèëëþýíà (íàïðèìåð, p a < k ¢ < 2p a), òî íåîáõî-
äèìî ñäâèíóòü äèñïåðñèîííóþ êðèâóþ, ââåäÿ êâàçèâîëíîâîé
âåêòîð k = k ¢ - 2p a. Ïðè òàêîì ñäâèãå êâàçèâîëíîâîé âåêòîð
ïîïàäàåò â ïåðâóþ çîíó Áðèëëþýíà, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåòâü
äèñïåðñèîííîé êðèâîé èìååò èíäåêñ «1». Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê ôóíêöèè Áëî-
õà ïîñëå âûäåëåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u k,1 (x) = e 2ipx a :

      V - 1 2 e ik ¢x = V - 1 2 u k,1 (x) e ikx .

Ýòà îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþ-
ýíà è ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äëÿ âñåõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò âîëíîâîãî âåêòî-
ðà, ïîêàçàííóþ ïóíêòèðíîé êðèâîé íà ðèñ. 9. Ôóíêöèÿ E(k)
ñòàíîâèòñÿ ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé, è åå âåòâè íóìåðóþòñÿ îò
íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.
    Òàêàÿ êàðòèíà ñïðàâåäëèâà òîëüêî â ïðåäïîëîæåíèè ïðå-
íåáðåæåíèÿ ïîòåíöèàëîì U(x). Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ïå-
ðèîäè÷åñêîìó âîçìóùåíèþ âîçíèêíóò ðàñùåïëåíèÿ ïåðåñåêà-
þùèõñÿ óðîâíåé, è çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò âîëíîâîãî âåêòîðà

                                          69