Применение функций нескольких переменных в теории поля. Васильева О.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Производная по направлению
Пусть задано скалярное поле
(
)
,,uuxyz
=
. Рассмотрим точку (, , )
M
xyz и
луч l, выходящий из точки M в направлении единичного вектора
0
cos cos coslijk
α
βγ
=
⋅+ ⋅+ ⋅
и пусть
1
(, , )
M
xxyyzz+∆ +∆ +∆
другая точка этого луча.
Производной скалярного поля
(
)
uM
по направлению l называется соот-
ношение
1
1
1
0
() (
lim lim
MM
l
uM uM
uu
ll
MM
→
∆→
)
∂∆
==
∂∆
,
где
1
lMM∆= .
Производную по направлению можно вычислить по формуле:
cos cos cos
uu u u
lx y z
α
β
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
γ
, (1)
где
u
x
∂
∂
,
u
y
∂
∂
,
u
z
∂
∂
– частные производные функции
(
)
,,uuxyz
=
,
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
– направляющие косинусы направления l. Таким образом,
единичный вектор заданного направления равен
(
)
0
cos , cos , cosl
α
βγ
=
.
Производная поля в данной точке M
0
по направлению l характеризует
скорость изменения поля в данном направлении l.
Если
0
0
M
u
l
∂
>
∂
, то поле
(
)
,,uuxyz
=
возрастает в данном направлении,
если
0
0
M
u
l
∂
<
∂
, то поле
(
)
,,uuxyz
=
убывает в данном направлении.
1.4. Градиент и его свойства
Градиентом скалярного поля
(
)
uM
называется вектор
uuu
ui jk
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
grad
. (2)
5

Страницы