Применение функций нескольких переменных в теории поля. Васильева О.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Свойства градиента
1. Если
(
)
,,uuxyz= и
(
)
,,vvxyz= дифференцируемые функции,
C – постоянная, то справедливы следующие соотношения:
1.1.
()uv u v±= ± ;
g
rad
g
rad
g
rad
1.2.
()Cu u+= ;
g
rad
g
rad
1.3.
()Cu C u= ;
g
rad
g
rad
1.4.
() ;uv v u u v=+
g
rad
g
rad
g
rad
1.5.
1
()
nn
unu
−
= ;u
g
rad
g
rad
1.6.
2
;0
uv uu v
v
vv
−
⎛⎞
=≠
⎜⎟
⎝⎠
grad grad
grad
.
)
2. Градиент скалярного поля
в данной точке
0
(uuM=
00 0 0
(, , )
M
xyz
перпен-
дикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Таким образом,
вектор
направлен по нормали к поверхности уровня поля u в
сторону наибольшего возрастания этого поля.
0
(uMgrad )
)
3. Градиент скалярного поля
в данной точке
0
(uuM=
00 0 0
(, , )
M
xyz
направ-
лен в сторону наибыстрейшего возрастания поля в этой точке, а модуль гра-
диента численно равен скорости наибыстрейшего возрастания функции в
этой точке.
4. Градиент скалярного поля u можно представить как действие оператора Га-
мильтона на скалярную функцию по правилу
uuu
ui j k ui j k
xyz xyz
⎛⎞
∂∂∂ ∂∂∂
∇= + + = + + =
⎜⎟
∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠
grad
u
,
т.е.
uu=∇grad
.
5. Связь между градиентом скалярного поля
)
,,uuxyz
=
и производной ска-
лярного поля по направлению l выражается формулой:
0
u
ul
l
∂
=
⋅
∂
grad .
6. Производная поля u в данном направлении l равна проекции градиента на
направление дифференцирования:
0
u
ul
l
∂
=
∇⋅
∂
.
6

Страницы