Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→0
3
√
1+8x −
7
√
1+5x +1− 1
8
√
1+3x −
5
√
1+7x +1− 1
=
= lim
x→0
[(1 + 8x)
1/3
− 1] − [(1 + 5x)
1/7
− 1]
[(1 + 3x)
1/8
− 1] − [(1 + 7x)
1/5
− 1]
= lim
x→0
1
3
· 8x −
1
7
· 5x
1
8
· 3x −
1
5
· 7x
=
= lim
x→0
x
8
3
−
5
7
x
3
8
−
7
5
=
41
21
−
41
40
= −
40
21
.
Иногда вычисление пределов упрощается введением новой
переменной так, чтобы она стремилась к нулю.
Пример 1.6
Вычислить предел lim
x→3
3
x
− x
3
x − 3
. Для упрощения раскрытия
неопределенности
0
0
введем новую переменную t = x − 3 или
x = t +3. Тогда при x → 3 новая переменная t → 0 и получим:
lim
x→3
3
x
− x
3
x − 3
= lim
t→0
3
t+3
− (t +3)
3
t
= lim
t→0
3
t
27 − t
3
− 9t
2
− 27t − 27
t
=
= lim
t→0
3
t
27 − 27
t
− t
2
− 9t − 27
= lim
t→0
27(3
t
− 1)
t
−
− lim
t→0
(t
2
+9t + 27) = 27(ln 3 − 1) = 27 ln(3/e).
Пределы степенно-показательных функций, содержащие неопре-
деленности вида 1
∞
, ∞
0
и т.п. вычисляются либо с помощью
предела 2 из таблицы пределов, либо с помощью операции ло-
гарифмирования.
Пример 1.7
Вычислить предел lim
x→∞
x +1
x − 2
3x−1
. Чтобы воспользовать-
ся пределом 2 из таблицы пределов, выделим единицу в скоб-
8

Страницы