Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ках
lim
x→∞
x +1− 2+2
x − 2
3x−1
= lim
x→∞
1+
3
x − 2
3x−1
.
Теперь преобразуем показатель степени
lim
x→∞
1+
3
x − 2
(3x−1)
(x−2)3
(x−2)3
= lim
x→∞
1+
3
x − 2
x−2
3
3(3x−1)
x−2
=
= lim
x→∞
1+
3
x − 2
x−2
3
lim
x→∞
x(9 −
3
x
)
x(1 −
2
x
)
= e
9
.
Пример 1.8
Вычислить предел lim
x→∞
7x
2
+5x +4
7x
2
+7x +2
6x+1
. Сделаем за-
мену переменной x =
1
t
или t =
1
x
. Тогда при x →∞новая
переменная t → 0 и получим
lim
x→∞
7x
2
+5x +4
7x
2
+7x +2
6x+1
= lim
t→0
7+5t +4t
2
7+7t +2t
2
1+
6
t
= A.
Вычисляем сначала не сам предел A, а логарифм от него, т.е.
ln A = ln lim
t→0
7+5t +4t
2
7+7t +2t
2
+1− 1
1+
6
t
=
= lim
t→0
ln
1+
2t(t −1)
7+7t +2t
2
1+
6
t
=
= lim
t→0
6+t
t
ln
1+
2t(t − 1)
7+7t +2t
2
.
Здесь использованы свойство непрерывности логарифмической
функции и свойство показателя степени аргумента логариф-
ма. При t → 0 дробь
2t(t − 1)
7+7t +2t
2
является бесконечно малой,
9

Страницы