Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Бесконечно малые функций при x → 0
sin x x;tgx x;
1 − cos x
x
2
2
;arcsinx x;
arctg x x;log
a
(1 + x)
x
ln a
;
ln(1 + x) x; a
x
− 1 x ln a;
e
x
− 1 x;(1+x)
a
− 1 ax.
Замечание 1.2
Доказано, что при вычислении пределов любой бесконеч-
но малый сомножитель можно заменить на эквивалентный ему.
Пример 1.4
Вычислить предел lim
x→0
1 − cos 3x
(3
x
− 1) arctg 5x
. Воспользуемся таб-
лицей ЭБМ и учтем, что при x → 0 произведения 3x и 5x будут
бесконечно малыми
lim
x→0
1 − cos 3x
(3
x
− 1) arctg 5x
= lim
x→0
(3x)
2
/2
x · ln 3 · 5x
= lim
x→0
9x
2
10x
2
ln 3
=
9
10 ln 3
.
Переходить к эквивалентным бесконечно малым функци-
ям в суммах или разностях, вообще говоря, нельзя. Если в
результате такого перехода в ответе получится 0 или ∞,тота-
кой ответ может быть неверным. Справедливо утверждение,
что переход к эквивалентным бесконечно малым функциям в
суммах или разностях оправдан, если эти бесконечно малые
функции взаимно не уничтожают друг друга.
Пример 1.5
Вычислить предел lim
x→0
3
√
1+8x −
7
√
1+5x
8
√
1+3x −
5
√
1+7x
. Для раскры-
тия неопределенности
0
0
прибавим и вычтем по единице в чис-
лителе и знаменателе, и воспользуемся таблицей ЭБМ
7

Страницы