Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(2
cos x
)
=[cosx = t]=(2
t
)
t
t
x
=2
t
ln 2(cos x)
=2
cos x
ln 2(−sin x).
Теперь завершим вычисление искомой производной
y
=
1
2
2cosx
cos(log
2
x)2
cos x
x ln 2
+sin(log
2
x)2
cos x
ln 2 sin x
=
=2
− cos x
cos(log
2
x)
x ln 2
+ln2sinx sin(log
2
x)
.
Пример 2.4
Вычислить производную функции y =3arcsin(e
− ctg
5
(7 ln x)
).
Данная функция представляет собой композицию пяти функ-
ций, и поэтому правило 2.6 следует применить несколько раз
y
=
3
1 −(e
− ctg
5
(7 ln x)
)
2
(e
− ctg
5
(7 ln x)
)
=
=
3e
− ctg
5
(7 ln x)
√
1 − e
−2ctg
5
(7 ln x)
(−ctg
5
(7 ln x))
=
=
3e
− ctg
5
(7 ln x)
(−5ctg
4
(7 ln x))
√
1 − e
−2ctg
5
(7 ln x)
(ctg(7 ln x))
=
=
−15e
− ctg
5
(7 ln x)
(ctg
4
(7 ln x))
√
1 − e
−2ctg
5
(7 ln x)
−1
sin
2
(7 ln x)
(7 ln x)
=
=
15e
− ctg
5
(7 ln x)
(ctg
4
(7 ln x))
√
1 − e
−2ctg
5
(7 ln x)
1
sin
2
(7 ln x)
7
x
.
2.3. Правило логарифмического
дифференцирования
Определение 2.6
Логарифмической производной функции y = f(x) на-
зывается производная от натурального логарифма этой функ-
ции (ln y(x))
=
y
(x)
y(x)
=
f
(x)
f(x)
.
Предварительное логарифмирование применяется, в част-
ности, для нахождения производной от степенно-показательной
14

Страницы