Составители:
Рубрика:
Правило 3.9
Если f
(x) < 0 во всех точках интервала (a, b),тографик
функции y = f(x) будет выпуклым на этом интервале.
Правило 3.10
Точки, в которых меняется знак второй производной f
(x)
являются точками перегибов графика функции y = f(x).
Пример 3.2
Исследовать функцию y = −x
3
+3x
2
+9x −11 с помощью
первой и второй производных и построить ее график.
1. Областью определения функции является все множество
вещественных (действительных) чисел.
2. Четностью, нечетностью, периодичностью функция не об-
ладает, т.е. является функцией общего вида.
3. Непрерывна во всей области определения и поэтому то-
чек разрыва и вертикальных асимптот график функции
не имеет.
4. Так как функция растет при x →∞быстрее линейной:
lim
x→∞
f(x)
x
= lim
x→∞
−x
2
+3x +9−
11
x
= ∞,
то наклонных (и горизонтальных) асимптот график функ-
ции не имеет.
5. При x =0y = −11, следовательно график пересекает ось
Oy в точке y = −11.
6. Вычислим первую производную:
y
=(−x
3
+3x
2
+9x−11)
= −3x
2
+6x+9 = −3(x+1)(x−3).
По знаку производной находим интервалы монотонности
и экстремумы: при x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) y
< 0 ⇒
функция убывает; при x ∈ (−1, 3) y
> 0 ⇒ функция
возрастает. При x = −1 функция имеет локальный ми-
нимум, причем y
min
= −(−1)
3
+3(−1)
2
+9(−1)−11 = −16;
при x =3функция имеет локальный максимум, причем
y
max
= −3
3
+3· 3
2
+9· 3 − 11 = 16.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
