Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Задание 4.1
Вычислить lim
x→0
2
x
2
− 11
x
2
ln cos 6x
. Чтобы воспользоваться табли-
цей ЭБМ, прибавим и вычтем в числителе единицу, а в знаме-
нателе воспользуемся формулой двойного аргумента
lim
x→0
(2
x
2
− 1) − (11
x
2
− 1)
ln(1 − 2sin
2
3x)
= lim
x→0
x
2
ln 2 − x
2
ln 11
−2sin
2
3x
=
= lim
x→0
x
2
(ln 11 −ln 2)
2 · (3x)
2
= lim
x→0
x
2
ln
11
2
18x
2
=
1
18
ln 5, 5.
Задание 4.2
Вычислить lim
x→∞
7x
2
+7x +5
7x
2
+7x +2
8x
2
+9x+3
= A.
ln A =ln
lim
x→∞
7x
2
+7x +5
7x
2
+7x +2
8x
2
+9x+3
=
= lim
x→∞
(8x
2
+9x +3)ln
7x
2
+7x +5
7x
2
+7x +2
.
Здесь было использовано правило непрерывности логарифми-
ческой функции и свойство логарифма. Выделим бесконечно
малое слагаемое в аргументе логарифма и применим таблицу
ЭБМ
lim
x→∞
(8x
2
+9x +3)ln
1+
3
7x
2
+7x +2
= lim
x→∞
3(8x
2
+9x +3)
7x
2
+7x +2
=
= lim
x→∞
3x
2
8+
9
x
+
3
x
2
x
2
7+
7
x
+
2
x
2
=
3 lim
x→∞
8+
9
x
+
3
x
2
lim
x→∞
7+
7
x
+
2
x
2
=
3 · (8+0+0)
7+0+0
=
=
24
7
. Следовательно, A = e
ln A
= e
27/4
= e
3
7
√
e
3
.
В следующих шести заданиях требуется вычислить произ-
водные заданных функций. Методы решения таких задач были
приведены в разделе 2.
21

Страницы