Составители:
Рубрика:
Задание 4.8
Найти производную функции y = 5(arcctg
√
x)
5e
(x
10
)
.
y
=5
(arcctg
√
x)
5e
(x
10
)
ln(arcctg
√
x)(5e
(x
10
)
)
+
+5e
(x
10
)
(arcctg
√
x)
5e
(x
10
)−1
(arcctg
√
x)
=
= 5(arcctg
√
x)
5e
(x
10
)
ln(arcctg
√
x)5e
(x
10
)
(x
10
)
+
+5e
(x
10
)
−(
√
x)
arcctg
√
x(1 + (
√
x)
2
)
=25e
(x
10
)
(arcctg
√
x)
5e
(x
10
)
·
·
ln(arcctg
√
x)10x
9
−
1/2x
−1/2
(1 + x) arcctg
√
x
= (arcctg
√
x)
5e
(x
10
)
·
·25e
(x
10
)
[10x
9
ln(arcctg
√
x) −
1
2
√
x(1 + x) arcctg
√
x
.
Последние два задания связаны с различными приложени-
ями производных. Эти приложения даны в разделе 3.
Задание 4.9
На интервале [−6, 6] найти наибольшее и наименьшее зна-
чения функции y =2x +11ln(x
2
− 10x + 26) + 46 arctg(x − 5).
Сначала вычислим и упростим производную, разложив квад-
ратный трехчлен в числителе на множители и выделив полный
квадрат в знаменателе y
=
2(x − 2)(x +3)
(x − 5)
2
+1
. Видно, что корней
в знаменателе производной нет, поэтому наибольшее и наи-
меньшее значения функция может принимать или в точках, в
которых производная обращается в нуль (т.е. в точках x =2и
x = −3), или на концах интервала (т.е. в точках x = −6 или
x =6). Вычислим значения функции в указанных точках:
y(−6) = −12 + 11 ln 122 + 46 arctg(−11) ≈−27.24,
y(−3) = −6 + 11 ln 65 + 46 arctg(−8) ≈−26.61,
y(2) = 4 + 11 ln 10 + 46 arctg(−3) ≈−28.12,
y(6) = 12 + 11 ln 2 + 46 arctg(1) ≈ 55.75.
О т в е т: Наибольшее значение y
max
≈ 55.75 достигается на пра-
вом конце интервала, т.е. при x =6; наименьшее значение
y
min
≈−28.12 достигается внутри интервала в точке x =2.
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
