Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Определение 1.8
Функция называется непрерывной на интервале, если она
непрерывна в каждой точке этого интервала.
Доказано, что все элементарные функции непрерывны на тех
интервалах, где они определены.
Пример 1.1
Вычислить предел lim
x→2
ln(3 − x)+e
x
x
2
− 3
. Воспользуемся свой-
ствами пределов и непрерывностью элементарных функций
lim
x→2
ln(3 − x)+e
x
x
2
− 3
=
lim
x→2
ln(3 − x) + lim
x→2
e
x
lim
x→2
(x
2
− 3)
=
=
ln(3 − 2) + e
2
2
2
− 3
=
ln 1 + e
2
4 − 3
= e
2
.
Пример 1.2
Вычислить предел lim
x→2
x
2
+ x − 6
x(x
3
− 4x)
. В данном примере нель-
зя сразу воспользоваться теоремой о пределе отношения, так
как предел знаменателя (как впрочем и числителя) оказывает-
ся нулем. Чтобы раскрыть неопределенность
0
0
, т.е. вычислить
этот предел, нужно выделить множители, обращающие в нуль
числитель и знаменатель
lim
x→2
x
2
+ x − 6
x(x
3
− 4x)
= lim
x→2
(x − 2)(x +3)
x
2
(x − 2)(x +2)
.
После этого сократить числитель и знаменатель дроби на об-
щий множитель и воспользоваться свойствами пределов
lim
x→2
(x − 2)(x +3)
x
2
(x − 2)(x +2)
=
lim
x→2
(x +3)
lim
x→2
x
2
· lim
x→2
(x +2)
=
5
2
2
· 4
=
5
16
.
В некоторых случаях бывает полезно воспользоваться свой-
ствами бесконечно малых и бесконечно больших функций.
3

Страницы