Высшая математика. Пределы и производные. Вешев В.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Свойство 1.2
1. Произведение бесконечно малой функции на ограничен-
ную функцию или на постоянную является бесконечно
малой функцией.
2. Сумма конечного числа бесконечно малых функций яв-
ляется бесконечно малой.
3. Функция, обратная к бесконечно малой, является беско-
нечно большой. Функция, обратная к бесконечно боль-
шой, является бесконечно малой.
Пример 1.3
Вычислить предел lim
x→∞
(
√
4x
4
− 7x
2
+10− 2x
2
). В данном
примере нельзя сразу воспользоваться теоремой о пределе раз-
ности, так как и уменьшаемое, и вычитаемое не имеют конеч-
ных пределов, а являются бесконечно большими. Чтобы рас-
крыть неопределенность ∞−∞, умножим и разделим на “со-
пряженное” выражение и воспользуемся формулой “разности
квадратов”:
lim
x→∞
(
√
4x
4
− 7x
2
+10− 2x
2
)=
= lim
x→∞
(
√
4x
4
− 7x
2
+10− 2x
2
)(
√
4x
4
− 7x
2
+10+2x
2
)
√
4x
4
− 7x
2
+10+2x
2
=
= lim
x→∞
(
√
4x
4
− 7x
2
+10)
2
− (2x
2
)
2
√
4x
4
− 7x
2
+10+2x
2
= lim
x→∞
4x
4
− 7x
2
+10− 4x
4
√
4x
4
− 7x
2
+10+2x
2
=
= lim
x→∞
−7x
2
+10
√
4x
4
− 7x
2
+10+2x
2
.
Сразу воспользоваться теоремой о пределе отношения нельзя,
так как и числитель, и знаменатель не имеют конечных преде-
лов, а являются бесконечно большими. Для раскрытия неопре-
деленности
∞
∞
выделим в числителе и знаменателе множители
4

Страницы