Высшая математика. Пределы и производные - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

у знаменателя производной нет, поэтому наибольшее и наи-
меньшее значения функция может принимать или в точках, в
которых производная обращается в нуль (т.е. в точках x =2и
x = −3), или на концах интервала (т.е. в точках x = −6 или
x =6). Вычислим значения функции в указанных точках
y(−6) = −12 + 11 ln 122 + 46 arctg(−11) ≈−27.24,
y(−3) = −6 + 11 ln 65 + 46 arctg(−8) ≈−26.61,
y(2) = 4 + 11 ln 10 + 46 arctg(−3) ≈−28.12,
y(6) = 12 + 11 ln 2 + 46 arctg(1) ≈ 55.75.
О т в е т: Наибольшее значение y
max
≈ 55.75 достигается на пра-
вом конце интервала, т.е. при x =6; наименьшее значение
y
min
≈−28.12 достигается внутри интервала в точке x =2.
Задание 1.10
Исследовать функцию y =
x
3
6
(x
2
− 5) и построить ее гра-
фик по характерным точкам. Функция определена при всех
вещественных значениях x; непрерывна во всей области су-
ществования; точек разрыва и асимптот график функции не
имеет. Функция является нечетной, так как y(−x)=−y(x) и
ее график симметричен относительно начала координат. Вы-
числим производную
y
=
x
5
6
−
5x
3
6
=
5x
4
6
−
15x
2
6
=
5x
2
6
(x +
√
3)(x −
√
3).
По знаку производной определяем, что функция возрастает
при x ∈ (−∞; −
√
3) ∪ (
√
3; +∞) и убывает при x ∈ (−
√
3,
√
3).
При x = −
√
3 функция имеет местный максимум y
max
= y( −
√
3) =
√
3.Приx =
√
3 функция имеет местный минимум y
min
=
y(
√
3) = −
√
3. Отметим, что в точке x =0экстремума нет,
так как производная не меняет знак в этой точке. Вычислим
вторую производную y

=
5x
4
6
−
15x
2
6
=
20x
3
6
−
10x
2
=
10x
3
x
2
−
3
2
=
10x
3
x +
√
6
2

x −
√
6
2
. По знаку второй
4

Страницы