Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

99
ностей присутствовали повторяющиеся события, то прежде чем вычислять вероятности
тех или иных событий на выходе каждой логической схемы, необходимо было бы ис-
ключить повторяющиеся событий (т.е. получить минимальные сечения).
Для данного дерева неисправностей решение может быть получено следующими
двумя методами.
Метод 1. Запишем выражение для завершающего события через элементарные
события т. е.
Т
0
= Т
1
+ Т
2
.
Поскольку T
2
= CD, T
1
= T
3
E, Т
3
= А + В, то T
o
= E(A + B) + CD, и, следовательно,
Р(Т
0
) = Р(ЕА + EB + CD).
Раскрывая полученное выражение, можно получить формулу для вероятности
появления завершающего события. При допущении о статистической независимости
событий (отказов) можно найти количественную оценку вероятности появления завер-
шающего события.
Метод 2. Этот метод определения численного значения вероятности появления
завершающего события основан на вычислении вероятностей появления промежуточ-
ных событий. В данном случае предполагается, что события (отказы) статистически не-
зависимы. Используя правило умножения вероятностей, получаем следующие количе-
ственные результаты для вероятностей появления промежуточных событий и завер-
шающего события:
Р(Т
3
) = Р(А) + Р(В) - Р(А)
.
Р(В) = 1/4 + 1/4 - 1/16 = 7/16,
Р(Т
2
) = P(С)
.
Р(D) = 1/4
.
1/4 = 1/16,
Р(Т
1
) = Р(Т
3
)
.
Р(Е) = 7/16
.
1/4 = 7/64,
Р(Т
0
) = Р(Т
1
) + Р(Т
2
) - Р(Т
1
)
.
Р(Т
2
)= 7/64 + 1/16 - 7/64
.
1/16 = 169/1024.
Пример 9.9. Допустим, что в дереве неисправностей, изображенном на рис.
9.16, событие Е заменяется событием D (рис. 9.17). Для получения вероятности появле-
ния завершающего события нового дерева, изображенного на рис. 9.17, применим ме-
тод 1 из предыдущего примера. Выражение, связывающее завершающее событие с ос-
новными событиями (включая повторяющееся событие D), имеет вид
T
0
= (A + B)D + CD или T
0
= DA + BD + CD.
Вероятность появления завершающего события определяется по формуле
Р(DA + BD + CD) = P(DA) + Р(BD) + P(CD) -
- Р(DABD) - Р(DACD) - Р(BDCD) + Р(DABDCD).
В случае неповторяющихся статистически независимых событий
P(DA + BD + CD) = P(А)
.
Р(D) + Р(В)
.
Р(D) +P(C)
.
P(D) - P(D)
.
P(A)
.
P(B) -
- P(A)
.
P(C)
.
P(D) - P(B)
.
P(C)
.
P(D) +P(A)
.
P(B)
.
P(C)
.
P(D).
Следовательно, вероятность появления завершающего события равна
Р(DA + BD + СD) = 1/16 + 1/16 + 1/16 - 1/64 - 1/64 - 1/64 + 1/256 = 37/256.
Однако если вначале исключаются повторяющиеся события, то дерево неис-
правностей, представленное на рис. 9.17, приводится к дереву, показанному на рис.
9.18. Выражение для завершающего события этого дерева неисправностей принимает
вид
T
0
= DT
1
, 
ностей присутствовали повторяющиеся события, то прежде чем вычислять вероятности
тех или иных событий на выходе каждой логической схемы, необходимо было бы ис-
ключить повторяющиеся событий (т.е. получить минимальные сечения).
        Для данного дерева неисправностей решение может быть получено следующими
двумя методами.
        Метод 1. Запишем выражение для завершающего события через элементарные
события т. е.
                                             Т0 = Т1 + Т2.
        Поскольку T2 = CD, T1 = T3E, Т3 = А + В, то To = E(A + B) + CD, и, следовательно,
                                      Р(Т0) = Р(ЕА + EB + CD).
        Раскрывая полученное выражение, можно получить формулу для вероятности
появления завершающего события. При допущении о статистической независимости
событий (отказов) можно найти количественную оценку вероятности появления завер-
шающего события.
        Метод 2. Этот метод определения численного значения вероятности появления
завершающего события основан на вычислении вероятностей появления промежуточ-
ных событий. В данном случае предполагается, что события (отказы) статистически не-
зависимы. Используя правило умножения вероятностей, получаем следующие количе-
ственные результаты для вероятностей появления промежуточных событий и завер-
шающего события:
                   Р(Т3) = Р(А) + Р(В) - Р(А).Р(В) = 1/4 + 1/4 - 1/16 = 7/16,
                             Р(Т2) = P(С).Р(D) = 1/4 . 1/4 = 1/16,
                            Р(Т1) = Р(Т3).Р(Е) = 7/16 . 1/4 = 7/64,
           Р(Т0) = Р(Т1) + Р(Т2) - Р(Т1).Р(Т2)= 7/64 + 1/16 - 7/64 . 1/16 = 169/1024.
        Пример 9.9. Допустим, что в дереве неисправностей, изображенном на рис.
9.16, событие Е заменяется событием D (рис. 9.17). Для получения вероятности появле-
ния завершающего события нового дерева, изображенного на рис. 9.17, применим ме-
тод 1 из предыдущего примера. Выражение, связывающее завершающее событие с ос-
новными событиями (включая повторяющееся событие D), имеет вид
              T0 = (A + B)D + CD             или            T0 = DA + BD + CD.
        Вероятность появления завершающего события определяется по формуле
                        Р(DA + BD + CD) = P(DA) + Р(BD) + P(CD) -
                     - Р(DABD) - Р(DACD) - Р(BDCD) + Р(DABDCD).
        В случае неповторяющихся статистически независимых событий
          P(DA + BD + CD) = P(А).Р(D) + Р(В).Р(D) +P(C).P(D) - P(D).P(A).P(B) -
                  - P(A).P(C) .P(D) - P(B).P(C).P(D) +P(A).P(B).P(C).P(D).
        Следовательно, вероятность появления завершающего события равна
        Р(DA + BD + СD) = 1/16 + 1/16 + 1/16 - 1/64 - 1/64 - 1/64 + 1/256 = 37/256.
        Однако если вначале исключаются повторяющиеся события, то дерево неис-
правностей, представленное на рис. 9.17, приводится к дереву, показанному на рис.
9.18. Выражение для завершающего события этого дерева неисправностей принимает
вид
                                               T0 = DT1,

                                           99

Страницы