Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 10 стр.

      Центры тяжестей граней AMB, BMC, CMA совпадают с проекциями на
соответствующие координатные плоскости точки O'. На рисунке отобразим
только касательные напряжения, поскольку только они дают крутящий
момент относительно точки O'
      Рассмотрим уравнение ∑ M x ′ = 0 . При составлении суммы моментов
всех сил относительно оси x' учтем, что силы τ xy ∆Fn x , τ xz ∆Fn x , σ y ∆Fn y ,
σ z ∆Fn z пересекают ось. Поэтому в условие равновесия войдут моменты
только двух поверхностных сил (τ yz ∆Fn y и τ zy ∆Fn z ):
                1               1
      τ yz ∆Fn y ∆y − τ zy ∆Fn z ∆z = 0 .
                3               3
                  1             1         1         1
      Так как       ∆Fn y ∆y = ∆Fy ∆y = ∆Fn z ∆z = ∆Fz ∆z = V (V - объем
                  3             3         3         3
пирамиды), то τ yz = τ zy .
       Аналогично            рассуждая,          получаем          τ xz = τ zx и τ yx = τ xy , т.е.
составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных
площадках, нормальные к линии пересечения этих плоскостей, равны между
собой (закон парности касательных напряжений).
      Таким образом, напряженное состояние в точке определяется девятью
компонентами напряженного состояния, из которых шесть касательных
попарно равны.
      Используя закон парности касательных напряжений, развернем
выражение (1.6)
      σ n = σ ij ni n j = σ xj n xσ j + σ yj n y n j + σ zj n z n j =
       = σ xx n x n x + σ xy n x n y + σ xz n x n z +
       + σ yx n y n x + σ yy n y n y + σ yz n y n z +                                     .   (1.8)
       + σ zx n z n x + σ zy n z n y + σ zz n z n z =
       = σ x n x2 + σ y n 2y + σ z n z2 + 2τ xy n x n y + 2τ yz n y n z + 2τ zx n z n x

1.6. Тензор напряжений.
     Итак, напряженное состояние в точке определяется 9-ю величинами
нормальных и касательных напряжений в 3-х взаимно перпендикулярных
площадках, проходящих через эту точку.
     Эти девять величин σ ji , которые связывают между собой проекции
полного напряжения в некоторой площадке pn и направляющие косинусы
этой площадки n составляют симметричный тензор 2-го ранга, называемый
тензором напряжений:




                                                                                                      10