Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 12 стр.

              ⎛ nx ' x nx ' y nx ' z ⎞
              ⎜                         ⎟
     ni ' j = ⎜ n y ' x n y ' y n y ' z ⎟
              ⎜⎜                        ⎟⎟
               ⎝ n z ' x nz ' y n z ' z ⎠
     Следует заметить, что только три направляющих косинуса в этой
матрице независимы, остальные являются зависимыми.
     Напряженное состояние в рассматриваемой точке тела в новой
координатной системе определяется напряжениями σ j ′i ′ .
                ⎛σ x'x' σ x' y' σ x'z' ⎞
                ⎜                                      ⎟
     σ j ' i '= ⎜ σ y ' y ' σ y ' x ' σ y ' z ' ⎟
                ⎜⎜                                     ⎟⎟
                 ⎝ σ z  ' z '   σ  z ' x ' σ z ' y ' .  ⎠
     Поскольку напряженное состояние в точке не может зависеть от
выбора координатных осей, то между компонентами напряжений в
координатах xyz и x'y'z' должна существовать взаимосвязь.
     Можно показать, что в сокращенной записи эта зависимость имеет
следующий вид:
     σ j ' i ' = n j ' i ⋅ ni ' j ⋅ σ ji ,                   (1.9)
где i, j = x, y, z
       Проверим эту запись для компонента σ x ' x ' . Напряжение σ x ' x ' -
нормальное напряжение в направлении оси x' . Следовательно, для его
определения можно воспользоваться полученной нами ранее формулой,
определяющей нормальное напряжение в произвольной направлении через
напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках и направляющие
косинусы:
       σ n = σ ij ni n j
        В      данном         случае   σn =σ x'x',   nx = nx' x ,   n y = n x' y ,   n z = n x' z ,
следовательно
     σ x ' x ' = σ ij nx ' i nx ' j
          Такое же выражение получаем и при непосредственной подстановке
 j ' = x , i ' = x в общую формулу преобразования компонент напряжений.
          В развернутом виде компоненты σ j ' i ' , например для σ x ' y ' , выглядят
следующим образом:




                                                                                               12