Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 14 стр.

      При произвольном выборе положения координатных осей на каждой из
координатных площадок имеется нормальное и касательное напряжения.
      В курсе тензорного анализа доказывается, что при определенном
повороте осей тензор второго ранга всегда может быть приведен к
диагональному виду. Иными словами все компоненты тензора, находящиеся
вне главной диагонали будут равны нулю. Следовательно, и тензор
напряжений можно привести к диагональному виду. На главной диагонали
тензора напряжений находятся нормальные напряжения, а вне ее –
касательные. Это означает, что для любого напряженного состояния
существует такая прямоугольная система координат, в координатных
площадках которой действуют только нормальные напряжения, а все
касательные напряжения в этих площадках равны нулю. Координатные оси
такой системы координат называются главными. Площадки, параллельные
координатным плоскостям такой системы называются главными площадками,
а нормальные напряжения, действующие в главных площадках – главными
нормальными напряжениями.
      Попробуем получить уравнения, выражающие напряжения в главных
площадках через напряжения в координатных площадках произвольной
системы координат.
      Обратимся к Рис. 1.3. Предположим, что наклонная грань АВС
представляет собой одну из главных площадок. Тогда на этой площадке
действует только нормальное напряжение σ. Иными словами p n = σ .
Проекции этого напряжения на координатные оси равны произведению
длины вектора на направляющие косинусы площадки:
       pi = σ ⋅ ni
      Подставив эти выражения в соотношения для проекции полного
напряжения (1.6) σ n = pi ni , получим:
      σ x n x + τ yx n y + τ zx n z = σn x ; ⎫
                                              ⎪⎪
      τ xy n x + σ y n y + τ zy n z = σn y ;⎬
                                               ⎪
      τ xz n x + τ yz n y + σ z n z = σn z . ⎪⎭
      (σ x − σ )n x + τ yx n y + τ zx n z = 0; ⎫
                                                 ⎪⎪
      τ xy n x + (σ y − σ )n y + τ zy n z = 0;⎬                 (1.11)
                                                  ⎪
      τ xz n x + τ yz n y + (σ z − σ )n z = 0. ⎪⎭
      Полученная система уравнений является линейной однородной
относительно направляющих косинусов ni (свободные члены равны нулю).
Все направляющие косинусы не могут быть одновременно равны нулю
( n x2 + n 2y + n z2 = 1 ).
         Для того чтобы система линейных однородных уравнений имела
отличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель,
составленный из коэффициентов уравнений, равнялся 0:

                                                                   14