Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 15 стр.

         σ x −σ   τ yx   τ zx
      ∆ = τ xy  σ y −σ   τ zy = 0 ,                                            (1.12)
           τ xz   τ yz σ z −σ
      Развертывая определитель, получим:
                (        )
      (σ x − σ ) σ y − σ (σ z − σ ) + τ yxτ zyτ xz + τ xyτ yzτ zx −
        (           )
      − σ y − σ τ xzτ zx − (σ x − σ )τ zyτ yz − (σ z − σ )τ xyτ yx = 0
      произведя преобразования, придем к уравнению
      σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 ,                                           (1.13)
      где
                                                                           ⎫
                                                                           ⎪
      I1 (Tσ ) = σ x + σ y + σ z ;                                         ⎪
                                                                           ⎪
                  σ x τ yx σ x τ zx σ y τ zy                               ⎪
      I 2 (Tσ ) =            +             +             =                 ⎪
                  τ xy σ y τ xz σ z τ yz σ z
                                                                           ⎪
                                               2      2      2             ⎪
                = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ yz − τ xz ;          ⎬   (1.14)
                                                                           ⎪
                  σ x τ yx τ zx                                            ⎪
      I 3 (Tσ ) = τ xy σ y τ zy =                                          ⎪
                                                                           ⎪
                  τ xz τ yz σ z                                            ⎪
                                                                           ⎪
                                                   2         2         2 ⎪
                = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ yτ xz − σ xτ yz − σ zτ xy .⎭
         Это уравнение имеет три корня. Доказано, что исходя из соотношений
коэффициентов I1, I2, I3 они всегда будут действительными. Эти корни и
являются величинами главных напряжений, которые принято обозначать:
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Оси координат, определяющие площадки
главных напряжений обозначают 1,2,3. Иногда для главных напряжений
используется запись σ 11 ,σ 22 ,σ 33 показывающая, что напряжение действует в
площадке, нормаль к которой направлена вдоль оси 1 и само напряжение
также направлено вдоль этой оси. При сравнении напряжений их следует
брать с учетом знака, т.е. если корни уравнения имеют значения 0, -40, -10, то
σ 1 = 0,σ 2 = −10,σ 3 = −40 .
         В тензорном анализе доказывается, что значения коэффициентов
характеристического уравнения тензора 2-го ранга не изменяются при
повороте системы координат (инвариантны к преобразованию координат).
Для тензора напряжений это физически означает, что главные напряжения
при данном напряженном состоянии имеют единственное значение.
Коэффициенты I1, I2, I3 поэтому называют инвариантами тензора
напряжений. Первый инвариант – линейный, второй – квадратичный и
третий – кубический. В главных осях они будут иметь вид


                                                                                    15