Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 16 стр.

     I1 (Tσ ) = σ 1 + σ 2 + σ 3 ;
     I 2 (Tσ ) = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1;
      I 3 (Tσ ) = σ 1σ 2σ 3 .
     В главных осях тензор напряжений приводится к виду:
             ⎛σ 1 0         0 ⎞
             ⎜                ⎟
     Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟
             ⎜0       0 σ 3 ⎟⎠
             ⎝
     Инварианты тензора напряжений имеют важное значение. Так,
например, если записаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, можно
определить, выражают они одно напряженное состояние, или разные.
     Приведем тензорную запись первых двух инвариантов:
                                                  (
      I1 (Tσ ) = σ ii = ∑ σ ii = σ xx + σ yy + σ zz = σ x + σ y + σ z            ) (   )
                             i = x, y , z
               1
     I 2 (Tσ ) =
               2
                       [
                 (σ ii )2 − σ ijσ ij                  ]
                                              (
     (σ ii ) = ∑ (σ ii )2 = σ xx + σ yy + σ zz 2 =
            2
                                                                             )
                  i = x, y , z
                 2
             = σ xx + σ 2yy + σ zz
                                2
                                              (
                                   + 2 σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xx      )
     σ ijσ ij =      ∑            ∑ (σ ijσ ij ) = ∑ (σ ixσ ix + σ iyσ iy + σ izσ iz ) =
                  i = x, y , z j = x, y , z                   i = x, y , z


             = σ xxσ xx + σ yxσ yx + σ zxσ zx +
             +σ xyσ xy + σ yyσ yy + σ zyσ zy +
             +σ xzσ xz + σ yzσ yz + σ zzσ zz =
                 2
             = σ xx + σ 2yy + σ zz
                                2        2
                                   + 2 σ xy     2
                                            + σ yz     2
                                                   + σ zx (                        )
     Следовательно:
     1
     2
       [                          ]
       (σ ii )2 − σ ijσ ij = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xx − σ xy
                                                                2
                                                                   − σ 2yz − σ zx
                                                                               2
                                                                                  =
                                          2
           = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ 2yz − τ zx
                                                         2

     Что и требовалось доказать.
1.8. Элипсоид напряжений
     Вернемся к рассмотрению напряжений в наклонной площадке. Однако
расположим эту площадку не в произвольной, а в главной системе
координат.
     Тогда проекции полного напряжения (компоненты) в наклонной
площадке в проекции на главные оси будет иметь вид ( pi = σ ji n j ):

                                                                                           16