Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

333222111
;; npnpnp
σ
σ
σ
=
==
Выразив направляющие косинусы из уравнений для компонент
полного напряжения по осям координат, и учтя, что сумма квадратов
направляющих косинусов равна единице, получим:
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
=++
σσσ
p
pp
(1.15)
p
σ
1
σ
3
1
3
σ
2
2
p
3
p
1
p
2
n
p
Рис. 1.6. Эллипсоид напряжений
Значения главных напряжений для каждого напряженного состояния
являются постоянными. В этом случае полученное уравнение является
уравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собой
главные напряжения в данной точке.
Поверхность эллипсоида – геометрическое мест точек, которое
описывает конец вектора полного напряжения
при произвольном
положении наклонной площадки, если начало вектора находится в начале
координат. Иными словами длина радиус-вектора любой точки поверхности
представляет собой значение полного напряжения в наклонной площадке.
Этот эллипсоид носит название
эллипсоида напряжений или эллипсоида
Ламе
и дает геометрическую интерпретацию тензора напряжений.
Из анализа эллипсоида напряжений следует важный вывод:
абсолютное значение вектора полного напряжения в любой площадке не
может быть больше максимального и меньше минимального главного
напряжения.
Если все три главных напряжения равны между собой и одинаковы по
знаку, то эллипсоид превращается в шар, и любые
три взаимно
перпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всех
площадках действуют одинаковые равные между собой нормальные
напряжения
σ
, а касательные напряжения отсутствуют. Иначе говоря, точка
находится в состоянии всестороннего растяжения, или всестороннего сжатия.
17
      p1 = σ 1n1; p2 = σ 2 n2 ; p3 = σ 3 n3
     Выразив направляющие косинусы из уравнений для компонент
полного напряжения по осям координат, и учтя, что сумма квадратов
направляющих косинусов равна единице, получим:
      p12       p22        p32
            +          +          =1                                        (1.15)
     σ 12       σ 22       σ 32


                                                3

                                                     σ3

                                                p3
                                                          p
                                                                        1
                                                              p1   σ1
                                           σ2   p2


                                  2


                                      Рис. 1.6. Эллипсоид напряжений

      Значения главных напряжений для каждого напряженного состояния
являются постоянными. В этом случае полученное уравнение является
уравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собой
главные напряжения в данной точке.
      Поверхность эллипсоида – геометрическое мест точек, которое
описывает конец вектора полного напряжения pn при произвольном
положении наклонной площадки, если начало вектора находится в начале
координат. Иными словами длина радиус-вектора любой точки поверхности
представляет собой значение полного напряжения в наклонной площадке.
Этот эллипсоид носит название эллипсоида напряжений или эллипсоида
Ламе и дает геометрическую интерпретацию тензора напряжений.
      Из анализа эллипсоида напряжений следует важный вывод:
абсолютное значение вектора полного напряжения в любой площадке не
может быть больше максимального и меньше минимального главного
напряжения.
      Если все три главных напряжения равны между собой и одинаковы по
знаку, то эллипсоид превращается в шар, и любые три взаимно
перпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всех
площадках действуют одинаковые равные между собой нормальные
напряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют. Иначе говоря, точка
находится в состоянии всестороннего растяжения, или всестороннего сжатия.

                                                                                 17

Страницы