Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 19 стр.

     где
          ⎧1, если i = j
     δ ij = ⎨            символ Кронекера
          ⎩0, если i ≠ j
      Как уже было показано, шаровой тензор представляет собой
напряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия (в
зависимости от знака σ cp ). Такое напряженное состояние не может вызвать
изменения формы тела – возможно лишь изменение его объема. Девиатор
напряжений обуславливает изменение формы тела без изменения объема
     По аналогии с инвариантами тензора напряжений можно записать
инварианты девиатора напряжений. Первый инвариант девиатора
напряжений равен нулю:
      I1 ( Dσ ) = s xx + s yy + s zz = sii = σ xx + σ yy + σ zz − 3σ cp = 0
     Большое значение в теории обработки металлов давлением имеет
величина второго инварианта девиатора напряжений. Его мы будем
использовать в дальнейшем, поэтому запишем его в различных формах:
                                                         2
      I 2 ( Dσ ) = s xx s yy + s yy s zz + s zz s yy − s xy − s 2yz − s zx
                                                                        2
                                                                           =

        1⎡                   ⎤    1                                                    (1.20)
      = ⎢(sii ) − sij sij ⎥ = − sij sij =
                 2
        2⎢                   ⎥    2
          ⎣ =0               ⎦
          ⎡                        2
                                 s xx             2 ⎤
                                      + s 2yy + s zz
              2      2      2
      = − ⎢ s xy + s yz + s zx +                     ⎥=
          ⎢                              2           ⎥
          ⎣                                          ⎦
          ⎡
             2      2      2
      = − ⎢τ xy + τ yz + τ zx +
                                  (            ) (                 ) (
                                σ x − σ cp 2 + σ y − σ cp 2 + σ z − σ cp 2 ⎤
                                                                           ⎥=
                                                                                   )
          ⎢                                         2                      ⎥
          ⎣                                                                ⎦
          ⎡                                                          3σ cp           ⎤
          ⎢
      = − ⎢τ xy
              2
                + τ 2yz + τ zx
                            2
                               +
                                    2      2      2
                                                               (               )
                                 σ x + σ y + σ z − 2σ cp σ x + σ y + σ z + 3σ cp ⎥ 2 ⎥
                                                                                        =
          ⎢                                                   2                      ⎥
          ⎢                                                                          ⎥
          ⎢⎣                                                                         ⎦⎥
           ⎡                                            ⎛ σ    + σ   + σ     ⎞
                                                                               2⎤
           ⎢                                                x      y       z
                                 σ x2 + σ 2y + σ z2 − 3 ⎜                    ⎟ ⎥
            ⎢ 2                                         ⎝         3          ⎠ ⎥=
      = − ⎢τ xy + τ 2yz + τ zx
                            2
                               +                                                ⎥
           ⎢                                           2                        ⎥
           ⎢                                                                    ⎥
           ⎣⎢                                                                   ⎦⎥




                                                                                            19