Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

)
022222
2
2
3
2
1
33
2
2
2
2
1
1
3
=++−−−+ nnnn
σσσσσσ
(
2
11
n
σ
()( )()
0
2
1
31
2
232
2
1311
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−+−
σσσσσσ
nnn
3
Аналогично, дифференцируя по
n
2
и приравняв производную нулю,
получим
()( )()
0
2
1
32
2
232
2
1312
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−+−
σσσσσσ
nnn
Эти два уравнения образуют систему. Ее тривиальное решение
очевидно:
n
1
=n
2
=0. Из уравнения суммы квадратов направляющих косинусов
найдем:
1
3
±
=n
0,0
2
. Эти площадки перпендикулярны главной оси 3.
Касательные напряжения в них равны нулю – иными словами это
минимальные касательные напряжения, а мы ищем максимальные.
Положим, что
1
≠
≠
n
3231
n
, тогда равны нулю выражения в
квадратных скобках. Вычитая второе из первого после преобразований
получим:
σ
σ
σ
σ
−=−
0,0
12
, что в общем случае неверно.
Поэтому нетривиальные решения можно получить, приняв для первого
уравнения системы:
≠
= nn 0,0
21
≠
, а для второго
=
nn
()
. Тогда для
первого уравнения:
()
0
2
1
31
2
131
=−−−
σσσσ
n
Откуда
;0;
2
21
=±= nn
2
1
3
±=
1
тогда
n
Из второго уравнения системы:
2
1
;
2
1
;0
321
±=±== nnn
Исключая последовательно в уравнении (1.21) для касательного
напряжения два других направляющих косинуса и проведя аналогичные
преобразования, получим 3 пары значений, определяющих направляющие
косинусы площадок, в которых действуют максимальные касательные
напряжения:
)(
31
2
Сокращаем на 2
σ
σ
−
1
n
2
1
2
2
n
и выносим за скобки
3
Меняем знак, выносим за скобки n и и делим на 2.
21
     (                                                         )
n1 σ 1 + σ 3 − 2σ 1 n12 − 2σ 2 n22 − 2σ 3 + 2σ 3 n12 + 2σ 3 n22 = 0 2
   ⎡                                     1          ⎤
n1 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 1 − σ 3 )⎥ = 0 3
   ⎣                                     2          ⎦
        Аналогично, дифференцируя по n2 и приравняв производную нулю,
получим
           ⎡                                   1            ⎤
        n2 ⎢(σ 1 − σ 3 )n12 + (σ 2 − σ 3 )n22 − (σ 2 − σ 3 )⎥ = 0
           ⎣                                   2            ⎦
        Эти два уравнения образуют систему. Ее тривиальное решение
очевидно: n1=n2=0. Из уравнения суммы квадратов направляющих косинусов
найдем: n3 = ±1 . Эти площадки перпендикулярны главной оси 3.
Касательные напряжения в них равны нулю – иными словами это
минимальные касательные напряжения, а мы ищем максимальные.
        Положим, что n1 ≠ 0, n2 ≠ 0 , тогда равны нулю выражения в
квадратных скобках. Вычитая второе из первого после преобразований
получим:
        σ 1 − σ 3 = σ 2 − σ 3 , что в общем случае неверно.
        Поэтому нетривиальные решения можно получить, приняв для первого
уравнения системы: n2 = 0, n1 ≠ 0 , а для второго n1 = 0, n2 ≠ 0 . Тогда для
первого уравнения:
        (σ 1 − σ 3 )n12 − 1 (σ 1 − σ 3 ) = 0
                          2
        Откуда
                  1                              1
        n1 = ± ; n2 = 0; тогда n3 = ±
                  2                              2
        Из второго уравнения системы:
                                  1            1
        n1 = 0;         n2 = ± ; n3 = ±
                                  2            2
        Исключая последовательно в уравнении (1.21) для касательного
напряжения два других направляющих косинуса и проведя аналогичные
преобразования, получим 3 пары значений, определяющих направляющие
косинусы площадок, в которых действуют максимальные касательные
напряжения:




2
    Сокращаем на 2(σ 1 − σ 3 ) и выносим n1 за скобки
3
    Меняем знак, выносим за скобки n12 и n22 и делим на 2.
                                                                         21

Страницы