Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 20 стр.

            1⎡
            6⎣
                   (                  ) (              2
      = − ⎢3 σ x2 + σ 2y + σ z2 − σ x + σ y + σ z + 6 τ xy   )2
                                                                     (       2 ⎤
                                                                 + τ 2yz + τ zx  ⎥⎦ =       )
            1
      = − ⎡ 2σ x2 + 2σ 2y + 2σ z2 − 2σ xσ y − 2σ yσ z − 2σ zσ x + 6 τ xy
            6⎣⎢
                                                                          2
                                                                               (          2 ⎤
                                                                              + τ 2yz + τ zx
                                                                                             ⎥⎦
                                                                                                =          )
            1
              [(            ) (             )
      = − σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy
            6
                                                               2
                                                                         (
                                                                  + τ 2yz + τ zx
                                                                              2
                                                                                    =           )]
            1
      = − [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]
            6
      Выражение для третьего инварианта девиатора напряжений (в
настоящее время он пока редко используется в теории пластичности)
приведем только в сокращенной тензорной форме:
                  1
      I 3 ( Dσ ) = sij s jk skl
                  3
      Главные оси девиатора напряжений совпадают с главными осями
тензора напряжений.
1.10. Максимальные касательные напряжения
      Максимальными касательными (иногда их еще называют главными
касательными) напряжениями называются наибольшие касательные
напряжения для данного напряженного состояния. Определим положение
площадок, в которых действуют максимальные касательные напряжения. Для
этого необходимо определить направляющие косинусы этих площадок.
      Касательные напряжения в наклонных площадках выражаются через
главные напряжения следующим образом:

                                                         (                              )
                                                                                            2
       τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32                (1.21)
       В формуле (1.21) использованы соотношения
      pi = σ ji n j ; p 2 = p x2 + p 2y + p z2 ; σ n = pi ni = σ ji n j ni
     Поскольку три направляющих косинуса связаны между собой
соотношением:
       n12 + n22 + n32 = 1 ,
       то один из них (например n3 ) можно исключить, в результате получим:

                                      (             )                               (                  )
                                                                                                           2
          τ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 1 − n12 − n22 − ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥
                                                            ⎣                                      ⎦
          Для определения экстремума необходимо взять частные производные
по каждому из направляющих косинусов и приравнять полученное
выражение нулю.
∂ (τ n2 )
 ∂n1
                                                                 (           )⎦ (
          = 2σ12 n1 − 2σ 32 n1 − 2 ⎡⎢σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 1 − n12 − n22 ⎤⎥ 2σ1 n1 − 2σ 3 n1 = 0
                                      ⎣                                                                        )
          2 (σ1 −σ 3 )(σ1 +σ 3 ) n1



                                                                                                               20