Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
;0
123
±===
nnn
1
2
1
;0
2
1
;0
312
321
±===
±===
nnn
nnn
(1.22)
Легко заметить, что каждая из этих трех пар определяет площадки,
параллельные одной из осей главных координат и составляющие с двумя
другими осями угол 45° (Рис. 1.7).
τ
12
τ
23
τ
31
3
2
1
3
2
1
3
2
1
Рис. 1.7. Площадки максимальных касательных напряжений
Подставляя найденные значения направляющих косинусов в уравнение
для касательного напряжения (1.21), найдем значения максимальных
касательных напряжений.
(
)
2
2 2 2 2
11 22 33
n nnn
σσσ
− + +
22222222
11 22 33nn
p nn
τ σσσσ
=−= + +
2
1
;0
321
±=== nnn
Для
получим:
()
2
3232
2
3
2
2
2
3
2
2
2
321
2
3
2
2
2
1
2
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
σσσσσσσσ
σσσσσστ
−=−−−+=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−++=
или
)(
3223
2
1
σστ
−±=
Аналогично могут быть получены и выражения для двух других
совокупностей направляющих косинусов. Индекс максимальных
касательных напряжений показывает, к каким главным осям плоскость их
действия наклонена под углом 45°:
22
                                      1
      n1 = 0;          n2 = n3 = ±
                                      2
                                     1
      n2 = 0;          n1 = n3 = ±                                                            (1.22)
                                     2
                             1
      n3 = 0;          n2 = n1 = ±
                              2
     Легко заметить, что каждая из этих трех пар определяет площадки,
параллельные одной из осей главных координат и составляющие с двумя
другими осями угол 45° (Рис. 1.7).

             3                            3                              3




                 τ12         2                               2                                  2
                                                τ23                            τ31
 1                               1                               1




             Рис. 1.7. Площадки максимальных касательных напряжений

      Подставляя найденные значения направляющих косинусов в уравнение
для касательного напряжения (1.21), найдем значения максимальных
касательных напряжений.

                                                       (                              )
                                                                                          2
     τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32
                                              1
     Для n1 = 0;           n2 = n3 = ±          получим:
                                              2
                                                      2
         2        2 1 2 1 2 ⎛             1     1 ⎞
     τ       = 0σ 1 + σ 2 + σ 3 − ⎜ 0σ 1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =
                     2     2    ⎝         2     2  ⎠
            1      1        1    1      1        1
          = σ 22 + σ 32 − σ 22 − σ 32 − σ 2σ 3 = (σ 2 − σ 3 )2
            2      2        4    4      2        4
      или
              1
      τ 23 = ± (σ 2 − σ 3 )
              2
      Аналогично могут быть получены и выражения для двух других
совокупностей      направляющих       косинусов.     Индекс    максимальных
касательных напряжений показывает, к каким главным осям плоскость их
действия наклонена под углом 45°:


                                                                                                    22

Страницы