Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 23 стр.

                1
      τ12 = ±     (σ 1 − σ 2 ); τ 23 = ± 1 (σ 2 − σ 3 ) ; τ 31 = ± 1 (σ 3 − σ 1 ) . (1.23)
                2                        2                         2
       Таким образом, любое максимальное касательное напряжение равно
полуразности главных нормальных напряжений в направлении тех осей, с
которыми площадка составляет угол 45°, взятой со знаком + или -. Сумма
трех главных касательных напряжений равна нулю.
       Наибольшее из всех значений касательное напряжение в данной точке
называется максимальным напряжением τ max ; если σ 1 > σ 2 > σ 3 , то
               1
       τ max = (σ1 − σ 3 ) .
               2
       Подставив найденные значения направляющих косинусов в формулу
для нормальных напряжений для наклонной площадки в главных осях
σ n = σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 , можно определить величину нормальных
напряжений на площадках, на которых действуют максимальные
касательные напряжения. Например, для σ 23 :
                         1        1 σ +σ3
       σ n = σ10 + σ 2 + σ 3 = 2                 = σ 23
                         2        2        2
       Таким образом:
              1                        1                        1
       σ12 = (σ1 + σ 2 ) ; σ 23 = (σ 2 + σ 3 ) ; σ 31 = (σ 3 + σ1 ) .               (1.24)
              2                        2                        2
1.11. Октаэдрические напряжения
      Рассмотрим в некоторой точке тела площадку, одинаково наклоненную
к главным осям.
      Очевидно:
                                   1
      n12 + n22 + n32 = 1 ⇒   ni =
                                    3
      Таких площадок четыре. С четырьмя параллельными они образуют
фигуру октаэдра (Рис. 1.8). Поэтому напряжения в этих площадках называют
октаэдрическими.
      Значения этих напряжений можно определить, подставив значение
направляющих косинусов в выражения для нормальных и касательных
напряжений в наклонной площадке в главных осях координат.
      Нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему главному
напряжению:
      σ окт = σ cp
      Касательное напряжение (1.21):

                                                        (                              )
                                                                                           2
      τ n2 = p 2 − σ n2 = σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n32




                                                                                               23