Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

τ
окт
τ
окт
τ
окт
τ
окт
σ
окт
σ
окт
σ
окт
σ
окт
3
1
2
Рис. 1.8. Октаэдрические площадки
()
()()()
()
()()
2
123 123
22
12 2331
222 222
1122 2233 3311
22
2
12 23 31
111 111
333 3
1
222 2
9
1
222
9
1
окт
τ σσσ σσσ
σσσσσσσσσ
σσσσ σσσσ σσσσ
σσ σ σ σσ
⎛⎞
=++− ++ =
⎜⎟
⎝⎠
=++−−−=
⎡⎤
=−++−++−+=
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=−+−+−
⎢⎥
⎣⎦
2222
2
312
33
2 2
9
откуда
)(
3
2
)()()(
3
1
2
2
13
2
32
2
21
σ
σσσσσστ
DI
окт
±=−+−+−±= (1.25)
Все основные площадки, можно изобразить на фигуре Рис. 1.9.
Таким образом, существует три вида характерных площадок,
проходящих через точку:
•
Три взаимно перпендикулярных площадки главных напряжений, в
которых отсутствуют касательные напряжения
•
Три пары площадок главных (максимальных) касательных
напряжений. Эти площадки равнонаклонены к двум главным осям и
параллельны третьей.
•
Восемь площадок октаэдрических напряжений, нормальные
напряжения в которых равны среднему нормальному напряжению
(гидростатическому давлению с обратным знаком) в точке. Эти
площадки являются равнонаклоненными к главным осям.
24
                                           3
                                                             σокт


                     σокт                      σокт
                                                             τокт
                                                                        1
                                                  τокт
                              τокт
                                                      τокт


                             2
                                                  σокт


                            Рис. 1.8. Октаэдрические площадки
                                                             2
      2    1     1       1      ⎛1       1         1 ⎞
        = σ12 + σ 22 + σ 32 − ⎜ σ1 + σ 2 + σ 3 ⎟ =
    τ окт
           3     3       3      ⎝3       3         3 ⎠
           1
             (
        = 2σ12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2σ1σ 2 − 2σ 2σ 3 − 2σ 3σ1 =
           9
                                                                    )
           1
                 (                   ) (                     ) (               )
        = ⎡⎢ σ12 − 2σ1σ 2 + σ 22 + σ 22 − 2σ 2σ 3 + σ 32 + σ 32 − 2σ 3σ1 + σ12 ⎤⎥ =
           9⎣                                                                      ⎦
           1
        = ⎡⎢(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) ⎤⎥
                       2              2               2
           9⎣                                           ⎦
     откуда
              1                                                     2
     τ окт = ± (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = ±   I 2 ( Dσ ) (1.25)
               3                                                    3
     Все основные площадки, можно изобразить на фигуре Рис. 1.9.
     Таким образом, существует три вида характерных площадок,
проходящих через точку:
     • Три взаимно перпендикулярных площадки главных напряжений, в
         которых отсутствуют касательные напряжения
     • Три пары площадок главных (максимальных) касательных
         напряжений. Эти площадки равнонаклонены к двум главным осям и
         параллельны третьей.
     • Восемь площадок октаэдрических напряжений, нормальные
         напряжения в которых равны среднему нормальному напряжению
         (гидростатическому давлению с обратным знаком) в точке. Эти
         площадки являются равнонаклоненными к главным осям.



                                                                                    24

Страницы