Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Между интенсивностью нормальных и касательных напряжений
существует связь:
T
i
3=σ
;
3
i
σ
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=++
++=
++=+=
1
2
3
2
2
2
1
2
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
222
nnn
nnn
nnnp
n
nnn
σσσσ
σσστσ
)(
32
T
(1.28)
1.13. Диаграммы напряжений Мора
Наглядное представление об области возможных значений нормальных
и касательных напряжений на различных площадках, проходящих через
некоторую точку деформируемого дела, дает диаграмма Мора.
Запишем в главных осях напряжений соотношения между
направляющими косинусами и выражения нормального и полного
напряжений:
(1.29)
Эта система представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений относительно квадратов направляющих косинусов. Решить ее,
например, можно следующим образом:
Умножим почленно второе уравнение (1.29) на
, а третье на
σ
σ
+
32
σ
σ
. Затем произведем почленное вычитание первого и второго уравнений,
а к результату почленно прибавим третье уравнение:
()
32
2
33
2
22
2
11
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
22
σσ
σσσσ
σσστσ
+×
++=
−−
++=+
nnn
nnn
n
nn
(
32
2
3
2
2
2
1
1
σσ
×
++=
++
nnn
В результате этих преобразований получим:
)
()
()
()
22
23 23
22 22 22 2 2 2 2 2 2
11 2 33 2 3 1 2 3 23
nn n
nnn nnn nnn
στσσσ σσ
σσσ σσσσσ σσ
+− + + =
=++− ++ ++++ =
22 33 11 2
22 22 22 2 22 2 2 2 22
11 22 33 121 22 323 131 232 33
23
nnn nn n n nn
σσσσσσσσσσσσσ
σσ
=++− −− − − −+
2
3
2
2
,nn
2
1
n
222
1 232 233
nnn
σσ σσ
++ +
В правой части уравнения члены, содержащие квадраты направляющих
косинусов
сокращаются. Вынесем в правой части за скобки, а
левую часть преобразуем к другому виду:
26
        Между интенсивностью нормальных и касательных напряжений
   существует связь:
                      σ
        σ i = 3T ; T = i                                  (1.28)
                       3
   1.13. Диаграммы напряжений Мора
          Наглядное представление об области возможных значений нормальных
   и касательных напряжений на различных площадках, проходящих через
   некоторую точку деформируемого дела, дает диаграмма Мора.
          Запишем в главных осях напряжений соотношения между
   направляющими косинусами и выражения нормального и полного
   напряжений:
           pn2 = σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 ⎫
                                                              ⎪
                      2         2          2                  ⎪
          σ n = σ 1n1 + σ 2 n2 + σ 3n3                        ⎬          (1.29)
                                                              ⎪
           n12 + n22 + n32 = 1                                ⎪⎭
          Эта система представляет собой систему линейных алгебраических
   уравнений относительно квадратов направляющих косинусов. Решить ее,
   например, можно следующим образом:
          Умножим почленно второе уравнение (1.29) на (σ 2 + σ 3 ) , а третье на
   σ 2σ 3 . Затем произведем почленное вычитание первого и второго уравнений,
   а к результату почленно прибавим третье уравнение:
                σ n2 + τ n2 = σ 12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32
            −                 −
                       σ n = σ 1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 × (σ 2 + σ 3 )
            +                  +
                          1 = n12 + n22 + n32   × σ 2σ 3
             В результате этих преобразований получим:
σ n2 + τ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 =

                                  (                            )             (                 )
= σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1n12 + σ 2 n22 + σ 3n32 (σ 2 + σ 3 ) + n12 + n22 + n32 σ 2σ 3 =

= σ12 n12 + σ 22 n22 + σ 32 n32 − σ1σ 2 n12 − σ 22 n22 − σ 3σ 2 n32 − σ1σ 3n12 − σ 2σ 3n22 − σ 32 n32 +

+σ 2σ 3n12 + σ 2σ 3n22 + σ 2σ 3n32
           В правой части уравнения члены, содержащие квадраты направляющих
   косинусов n22 , n32 сокращаются. Вынесем в правой части n12 за скобки, а
   левую часть преобразуем к другому виду:



                                                                                                          26

Страницы