Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(
)
()()
()
()()
3121
2
1
32
2
1
32
2
3232
22
σσσσσσσσ
σσσστσσσσσσστ
−−=+−=
=−−+=+−−+
nn
nnnnnnn
3121
2
1
σσσ
−
Теперь можно выразить значение направляющего косинуса в виде:
(
)( )
()()
3121
32
2
2
1
σσσσ
σσσστ
−−
−−+
=
nnn
n
()()
()()
Проведя аналогичные преобразования для двух других направляющих
косинусов, получим решение системы уравнений относительно квадратов
направляющих косинусов:
()()
()()
()( )
()( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
−−
−−+
=
−−
−−+
=
2313
21
2
2
3
3212
31
2
2
2
3121
σσσσ
σσσστ
σσσσ
σσσστ
nnn
nnn
n
n
⎪
⎫
−−
−−+
=
32
2
2
1
σσσσ
σσσστ
nnn
n
321
(1.30)
Поскольку
σ
σ
σ
≥≥
()
то знаменатели формул удовлетворяют
следующим неравенствам:
(
)
()()
()( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
≥−−
≤−−
≥−−
0
0
0
2313
3212
3121
σσσσ
σσσσ
σ
σ
σ
σ
Так как решения получены для квадратов направляющих косинусов,
т.е. положительны всегда, то числители должны удовлетворять
неравенствам:
()()
()()
()( )
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≥−−+
≤−−+
≥−−+
0
0
0
21
2
31
2
32
2
σσσστ
σσσστ
σσσστ
nnn
nnn
nnn
Несколько преобразуем полученные неравенства, например для
первого:
()()
(
)
0
3232
22
32
2
≥++−+=−−+
σσσσσστσσσστ
nnnnnn
0
22
22
2
32
2
32
2
2
32
2
32
32
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
σσσσ
στ
σσσσ
σσ
nn
Окончательно получим следующую систему неравенств:
27
       (                                 )
τ n2 + σ n2 − σ nσ 2 − σ nσ 3 + σ 2σ 3 = τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) =
= n12 (σ 12 − σ 1σ 2 − σ 1σ 3 + σ 2σ 3 ) = n12 (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )
     Теперь можно выразить значение направляющего косинуса в виде:
       2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )
            2
      n1 =
              (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )
     Проведя аналогичные преобразования для двух других направляющих
косинусов, получим решение системы уравнений относительно квадратов
направляющих косинусов:
       2 τ n + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 )
            2                            ⎫
      n1 =                               ⎪
              (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ⎪
                                         ⎪
        2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ⎪
            2
      n2 =                                                      (1.30)
              (σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ⎬⎪
       2 τ n + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ⎪
            2
      n3 =                               ⎪
              (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ⎪⎭
     Поскольку σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 то знаменатели формул удовлетворяют
следующим неравенствам:
      (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) ≥ 0 ⎫
      (σ 2 − σ 1 )(σ 2 − σ 3 ) ≤ 0⎪⎬
      (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎭
     Так как решения получены для квадратов направляющих косинусов,
т.е. положительны всегда, то числители должны удовлетворять
неравенствам:
     τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) ≥ 0⎫
                                           ⎪⎪
      τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 3 ) ≤ 0 ⎬
      τ n2 + (σ n − σ 1 )(σ n − σ 2 ) ≥ 0 ⎪⎪
                                            ⎭
     Несколько преобразуем полученные неравенства, например для
первого:
     τ n2 + (σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) = τ n2 + σ n2 − σ n (σ 2 + σ 3 ) + σ 2σ 3 ≥ 0
                                2                 2
                 ⎛σ +σ3 ⎞ ⎛σ 2 −σ3 ⎞
        σ 2σ 3 = ⎜ 2    ⎟ −⎜       ⎟ ⇒
                 ⎝   2  ⎠ ⎝    2   ⎠
                                   2            2
         2 ⎡        ⎛ σ 2 + σ 3 ⎞⎤   ⎛σ 2 −σ3 ⎞
       τ n + ⎢σ n − ⎜           ⎟⎥ − ⎜        ⎟ ≥0
           ⎣    ⎝   2   ⎠⎦   ⎝   2  ⎠
       Окончательно получим следующую систему неравенств:




                                                                               27

Страницы