Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 13 стр.

       σ x ' y ' = nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji = ∑∑ nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji =
                                            i   j
               = ∑ (nx ' i n y ' xσ xi + nx ' i n y ' yσ yi + nx ' i n y ' zσ zi ) =
                   i
               = nx ' x n y ' xσ xx + nx ' y n y ' xσ xy + nx ' z n y ' xσ xz +
                + nx ' x n y ' yσ yx + nx ' y n y ' yσ yy + nx ' z n y ' yσ yz +
                + nx ' x n y ' zσ zx + nx ' y n y ' zσ xy + nx ' z n y ' zσ zz
     Таким образом, зная компоненты напряжений в трех взаимно
перпендикулярных площадках, проходящих через точку, мы можем всегда
определить компоненты напряжений в любой другой совокупности трех
взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через ту же точку.
     Теперь дадим определение тензора второго ранга (или второй
валентности):
     Физическая величина, определяемая набором девяти компонентов aij ,
которая при изменении системы координат преобразуется в набор
компонентов ai ' j ' согласно формуле: ai ' j ' = α i ' j ⋅ α j ' i ⋅ aij , где α i ' j ,α j 'i -
направляющие косинусы новой системы координат в данной системе
координат называется тензором 2-го ранга.
      Сравнивая      определение   тензора        и         полученную            формулу
преобразования компонент напряженного состояния при повороте осей
координат можно сделать вывод, что напряженное состояние в точке
является тензорной величиной.
      Вследствие парности касательных напряжений σ ij = σ ji тензор
напряжений         является      симметричным,       поскольку компоненты,
расположенные симметрично относительно его главной диагонали, равны
между собой.
      Понятие тензора является обобщением понятий вектора и скаляра.
Вектор определяется тремя скалярными величинами (проекциями вектора на
координатные оси) и является тензором первого ранга. Скаляры являются
тензорами нулевого ранга.
      Еще раз запишем различные формы записи тензора напряжений
           ⎛ σ x τ yx τ zx ⎞ ⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞
           ⎜                ⎟ ⎜                ⎟
      Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟ = ⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ = σ ij             (1.10)
           ⎜⎜               ⎟⎟ ⎜⎜              ⎟⎟
            ⎝ τ xz τ yz σ z ⎠ ⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠
1.7. Главные нормальные напряжения. Инварианты тензора
     напряжений
     Мы выяснили, что напряженное состояние в точке определяется
величиной напряжений, действующих на трех координатных площадках,
проходящих через эту точку, и является тензорной величиной.

                                                                                              13