Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 8 стр.

     Положение этой четвертой, наклонной грани определится
направляющими косинусами нормали n наклонной площадки относительно
единичных векторов координатных направлений e x , e y , e z :
       n x = cos(n , e x ) = cosα x ; n y = cos(n , e y ) = cosα y ; n z = cos(n , e z ) = cosα z ;
       Пусть площадь наклонной грани ∆F, тогда площади остальных граней:
       ∆Fx = ∆F × n x ; ∆Fy = ∆F × n y ; ∆Fz = ∆F × n z ;
       Пусть также в наклонной грани действует какое-то полное напряжение
pn .
       Разложим вектор полного напряжения                   p n на три составляющие:

              (                )
                                T
       pn = p x , p y , p z
       Очевидно
       pn =       p x2 + p 2y + p z2 .
     Напомним, что напряжения в координатных площадках x,y,z мы
считаем известными. Для равновесия тетраэдра сумма проекций сил на
направления координатных осей должны быть равны нулю.
      ∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ Z = 0.
     Рассмотрим первое уравнение:
      − σ x ∆Fx − τ yx ∆Fy − τ zx ∆Fz + p x ∆F = 0.
     Уже получено:
      ∆Fx = ∆F ⋅ nx ;       ∆Fy = ∆F ⋅ n y ;     ∆Fz = ∆F ⋅ nz ;
     Тогда, сокращая на ∆F , получаем
      p x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z .
     Рассматривая проекции сил на остальные координатные оси,
окончательно получим систему уравнений:
      p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫
                                            ⎪⎪
      p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬                       (1.4)
                                             ⎪
      p z = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎪⎭
     Выражения (1.4) можно упростить, используя знак суммирования:
      pi = ∑σ ji n j ,          i , j = x, y , z
              j
      Выражения такого вида удобно представлять в сокращенной записи.
Правило сокращенной записи введено Альбертом Эйнштейном и
заключаются в следующем:
      Знак суммы опускается, а по каждому повторяющемуся в одночлене
индексу ведется суммирование. Повторяющийся индекс называют немым, а
неповторяющийся – свободным. В выражении для напряжения в свободной
площадке повторяющийся (немой) индекс – j, а неповторяющийся
(свободный) – i.
      В сокращенной записи система уравнений примет вид:
                                                                                                      8