Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 48 стр.

                                                       σm
                                         σθ σn
                                               a                  f1     dα
             dθ      α                                  b          f2             α
                                    f2
                                        d µσn                σθ
                                     f1+df1   c         f3               ρ
                    dγ   Rθ                                             ρ+dρ
                                             σm+dσm
                                                                             Rm       Rθ
                    dβ                             τ
             dα                                                         dα
               Rm




    Рис. 1.22. К выводу уравнений равновесия для формоизменяющих операций
                               листовой штамповки

       Площади элементарных поверхностей:
       f1 = ab × s = sRθ dβ = sρdγ ⇒  df1 = s × dρdγ
                                     dρ
        f 2 = bc × s = sRm dα = s
                                    sin α
                                        dρ
        f 3 = ab × bc = Rθ dβRm dα = ρdγ
                                      sin α
     Подставляя первые значения полученных площадей в уравнение
проекций на нормаль (1.48), получим8:
     σ n Rθ Rm dαdβ − σ m sRθ dαdβ − σ θ sRm dαdβ = 0
     Сокращая на sRθ Rm dαdβ , получим уравнение, известное в
безмоментной теории оболочек как уравнение Лапласа:
        σn  σ      σ
         − m − θ =0                                                              (1.49)
       s    Rm Rθ
     Проецируя силы на ось τ касательную к поверхности в
меридиональном сечении, получим:
                  dα                                dα                       dθ
     − σ m f1 cos    + (σ m + dσ m )( f1 + df1 )cos    − µσ n f 3 − 2σ θ f 2    =0
                   2                                 2                        2
     Подставляя вторые значения в выражениях для площадей, значение σ n
из уравнения Лапласа, а также пренебрегая бесконечно малыми высших
порядков и приводя подобные члены получим:

8
  В учебнике М.В.Сторожева и Е.А.Попова напряжения в меридиональном
сечении обозначены не σ m , а σ ρ . Мы используем обозначения σ m , чтобы
подчеркнуть, что меридиональные напряжения действуют в направлении,
перпендикулярном меридиональному сечению, а не в направлении оси ρ .
                                                                                           48