Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 49 стр.

                                ⎛σ   σ ⎞ dρ                   dθ
     dσ m sρdγ + σ m sdρdγ − µs⎜⎜ m + θ ⎟⎟       ρdγ − σ θ s       dρ = 0
                                 R
                                ⎝ m  Rθ ⎠  sin α             sin α
                                                              dγ
      Сокращая на sdρdγ , получим уравнение равновесия элемента
заготовки постоянной толщины, выделенного в пространственном участке
очага деформации при осесимметричном деформировании заготовки с
наличием трения на контактной поверхности.
        dσ                µ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞
      ρ m + σ m − σθ −           ⎜     +      ⎟=0             (1.50)
         dρ              sin α ⎜⎝ Rm Rθ ⎟⎠
      Если оболочка имеет переменную толщину вдоль образующей, то
уравнение равновесия принимает следующий вид:
        dσ       ⎛    ρ ds ⎞           µ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞
      ρ m + σ m ⎜⎜1 +       ⎟⎟ − σ θ −       ⎜⎜   +    ⎟⎟ = 0 (1.51)
         dρ      ⎝    s d ρ  ⎠         sin α    R
                                              ⎝ m   Rθ ⎠

           2. Теория деформированного состояния

2.1. Описание движения сплошной среды. Переменные Эйлера
     и Лагранжа.
      Под действием внешних сил каждая частица деформируемого тела
получает определенную скорость. Существует два эквивалентных подхода к
описанию движения материальных частиц сплошной среды – подход
Лагранжа и подход Эйлера.
      В подходе Лагранжа объектом изучения являются материальные
частицы, в частности изменение ее кинематических характеристик
(положения в пространстве, скорости и ускорения). Для описания движения в
такой форме необходимо индивидуализировать каждую частицу. Такими
параметрами, индивидуализирующими каждую частицу, являются ее
координаты X ,Y , Z в начальный момент времени t = t0 . Координаты частицы
в неподвижном пространстве (глобальной системе координат Oxyz) зависят
от начальных координат частицы и времени:
                             x = f x ( X ,Y , Z , t ) ,
                               y = f y ( X ,Y , Z , t ) ,                   (2.1)
                           z = f z ( X ,Y , Z , t ).
      Фиксируя начальные координаты и считая переменным только время,
мы получим закон движения каждой частицы. Если зафиксировать в
формулах (2.1) время, то получим распределение материальных частиц в
пространстве в конкретный момент времени. Если же считать переменными
и начальные координаты и время, то получим описание движения сплошной
среды.


                                                                              49