Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 54 стр.

                                                       ∂u x     ∂u     ∂u
 dx′ = dx + (u x N − u x M ) = dx + du x = dx +             dx + x dy + x dz
                                                        ∂x       ∂y     ∂z
 По аналогии:
                           ∂u y          ∂u y          ∂u y
 dy ′ = dy + du y = dy +          dx +       dz dy +
                               ∂x    ∂y   ∂z
                             ∂u    ∂u   ∂u
 dz ′ = dz + du z = dz + z dx + z dy + z dz
                              ∂x    ∂y   ∂z
 Длина отрезка:
 dr ′ 2 = dx ′ 2 + dy ′ 2 + dz ′ 2
 Деформация отрезка:
        dr ′ − dr dr ′
 εr =             =       − 1;
            dr       dr
             2                   2
  2 ⎛ dr ′ ⎞   dr ′     ⎛ dr ′ ⎞
 εr = ⎜ ⎟ − 2       +1= ⎜      ⎟ − 2ε r − 1 ≈ 0                   (ε r << 1)
      ⎝ dr ⎠        dr        ⎝ dr ⎠
           2
    ⎛ dr ′ ⎞
 ⇒⎜        ⎟ = 2ε r + 1
    ⎝ dr ⎠
 С другой стороны:
       2
 ⎛ dr ′ ⎞
          =
            (dx')2 + (dy')2 + (dz ')2 =
 ⎜      ⎟
 ⎝ dr ⎠              (dr )2
                                                                               (2.11)
                          2                     2                     2
         ⎛ dx + du x ⎞   ⎛ dy + du y ⎞      dz + du z
        =⎜           ⎟ + ⎜           ⎟ + ⎛⎜                       ⎞
                                                                  ⎟
         ⎝ dr        ⎠   ⎜    dr     ⎟    ⎝ dr                    ⎠
                         ⎝           ⎠
 Раскроем первую скобку в (2.11):
               2                                              2
 ⎛ dx + du x ⎞    ⎛ dx ∂u dx ∂u x dy ∂u x dz ⎞
 ⎜           ⎟ = ⎜⎜ + x       +        +       ⎟⎟
 ⎝ dr        ⎠    ⎝ dr  ∂x dr   ∂y  dr   ∂z dr  ⎠
 учтем направляющие косинусы:
                dx        dy         dz
 n x = cosα x = ; n y = ;       nz =
                dr        dr         dr
 тогда выражение примет вид
                                         2
⎛       ∂u      ∂u      ∂u      ⎞                ⎛ ∂u     ∂u      ∂u      ⎞
⎜⎜ n x + x n x + x n y + x n z ⎟⎟ = n x2 + 2n x ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ +
 ⎝       ∂x      ∂y      ∂z     ⎠                ⎝ ∂x      ∂y      ∂z     ⎠
                                    2
   ⎛ ∂u     ∂u      ∂u      ⎞            ⎛ ∂u      ∂u          ∂u          ⎞
+ ⎜⎜ x n x + x n y + x n z ⎟⎟ ≅ n x2 + 2⎜⎜ x n x2 + x n x n y + x n x n z ⎟⎟
   ⎝ ∂x      ∂y      ∂z     ⎠            ⎝ ∂x       ∂y          ∂z         ⎠
                   ≈0
 раскрыв все скобки получим:



                                                                                    54