Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

122
2
2
2
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
rz
z
yz
z
xz
z
zy
y
y
y
xy
y
n
z
u
nn
y
u
nn
x
u
nn
z
u
n
y
u
nn
x
u
ε
2
2
1
222
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
=
zx
x
yx
x
x
x
xyx
nn
z
u
nn
y
u
n
x
u
nnn
dr
rd

xzzxzyyzyxxy
nnnnnn
γγγ
+++
Окончательно
zzyyxxr
nnn
εεεε
++=
222
, (2.12)
где
z
u
y
u
x
z
z
y
y
x
x
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
=
ε
ε
ε
u
∂
- относительные линейные
деформации вдоль координатных
осей
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
x
z
zx
z
y
yz
y
x
xy
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
γ
γ
0
- относительные угловые
деформации
(2.13)
Эти уравнения впервые получил Коши.
Рассмотрим физический смысл линейных и угловых деформаций вдоль
координатных осей.
Предположим, что отрезок MN параллелен оси Ox и деформируется
вдоль оси Ox. Тогда
=
= dydz .
По определению:
x
u
x
x
∂
∂
=
ε
.
Поскольку отрезок деформируется только вдоль оси Ox, то
перемещение вдоль этой оси не зависит от других координат и частная
производная становится полной.
dx
dxdx
dx
du
x
x
−
==
'
ε
Таким образом, относительная линейная деформация вдоль
координатной оси представляет собой отношение изменения длины
элементарного отрезка, расположенного вдоль координатной оси к его
55
              2
     ⎛ dr ′ ⎞     2     2     2     ⎛ ∂u 2 ∂u            ∂u          ⎞
     ⎜      ⎟ = n x + n y + n x + 2⎜⎜ x n x + x n x n y + x n x n z ⎟⎟ +
     ⎝ dr ⎠                         ⎝ ∂x     ∂y           ∂z         ⎠
                          =1
         ⎛ ∂u y          ∂u y 2 ∂u y           ⎞
     + 2⎜⎜      n y nx +     ny +     n y n z ⎟⎟ +
         ⎝ ∂x             ∂y      ∂z           ⎠
         ⎛ ∂u            ∂u        ∂u        ⎞
     + 2⎜⎜ z n z n x + z n z n y + z n z2 ⎟⎟ = 2ε r + 1
         ⎝ ∂x             ∂y        ∂z       ⎠
     Окончательно
     ε r = ε x n x2 + ε y n 2y + ε z n z2 + γ xy n x n y + γ yz n y n z + γ zx n z n x ,   (2.12)
        где
       ∂u
εx = x
        ∂x
       ∂u y                - относительные линейные
εy =                       деформации вдоль координатных
        ∂y                 осей
       ∂u z
εz =
        ∂z
                                                                (2.13)
        ∂u x ∂u y
γ xy =      +
         ∂y     ∂x
        ∂u     ∂u          - относительные угловые
γ yz = y + z               деформации
         ∂z     ∂y
       ∂u     ∂u
γ zx = z + x
        ∂x     ∂z
        Эти уравнения впервые получил Коши.
        Рассмотрим физический смысл линейных и угловых деформаций вдоль
координатных осей.
        Предположим, что отрезок MN параллелен оси Ox и деформируется
вдоль оси Ox. Тогда dz = dy = 0 .
        По определению:
              ∂u
        εx = x .
               ∂x
        Поскольку отрезок деформируется только вдоль оси Ox, то
перемещение вдоль этой оси не зависит от других координат и частная
производная становится полной.
              du   dx'−dx
        εx = x =
               dx    dx
        Таким образом, относительная линейная деформация вдоль
координатной оси представляет собой отношение изменения длины
элементарного отрезка, расположенного вдоль координатной оси к его

                                                                                                55

Страницы