Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 58 стр.

    В общем случае совокупность линейных и сдвиговых деформаций
можно записать в виде единой формулы, используя сокращенную запись12:
            1
              (          )
     ε ij = ui , j + u j , i ,
            2
                               i,j = x,y,z                      (2.17)
    Окончательно выражение для деформации элементарного отрезка
можно выразить следующей сокращенной записью:
     ε r = ε ji ni n j                                          (2.18)

2.4. Тензор деформаций.
     Легко заметить, что выражение для деформации отрезка (2.18)
аналогично выражению для нормального напряжения в наклонной площадке.
Формула (2.18) может быть получена из формулы (1.6) заменой нормального
напряжения σ n на деформацию отрезка ε r и компонент напряжений σ ij на
компоненты деформации ε ij . Поскольку напряженное состояние σ ij –
величина тензорная, то по аналогии записи выражений для напряжений и
деформаций следует ожидать, что и деформированное состояние ε ij тоже
тензорная величина.
      В теории упругости строго доказывается, что при повороте осей
координат компоненты деформаций изменяются в соответствии с тензорным
соотношением:
      ε i ' j ' = ε ij ⋅ ni ' j ⋅ n j ' i ,
      где ni ' j , n j ' i - направляющие косинусы новой системы координат
относительно старой.
      Тензор деформаций принято записывать в следующем виде:
                                    ⎧           1      1      ⎫
                                    ⎪   εx        γ yx   γ zx ⎪
           ⎧ε xx ε yx ε zx ⎫                    2      2
           ⎪⎪                   ⎪⎪ ⎪⎪ 1                       ⎪
                                                              ⎪ 1
      Tε = ⎨ε xy ε yy ε zy ⎬ = ⎨ γ xy
                                       2
                                                 εy
                                                       1
                                                       2
                                                              (            )
                                                         γ zy ⎬ = ui, j + u j , i
                                                                  2
                                                                                  (2.19)
            ⎪                    ⎪ ⎪                          ⎪
            ⎪⎩ε xz ε yz ε zz ⎪⎭ ⎪ 1             1             ⎪
                                    ⎪⎩ 2 γ xz 2 γ zy    εz ⎪
                                                              ⎭
      В цилиндрической системе координат при осесимметричном
напряженном состоянии:
             ∂u ρ            uρ             ∂u             ∂u ρ ∂u z
      ερ =         ; εθ =        ; ε z = z ; γ ρz =              +                (2.20)
              ∂ρ              ρ              ∂z             ∂z      ∂ρ
      Тензор деформаций является симметричным тензором второго ранга.
Как и для любого симметричного тензора, для него можно найти главные оси
– оси в направлении которых возникают главные деформации ε1 , ε 2 , ε 3 , а
сдвиговые деформации γ отсутствуют. По аналогии с напряженным

12
  Напомним, что в сокращенной записи индекс после запятой показывает
дифференцирование
                                                                                     58